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Examen resuelto de Matemáticas II — Ordinaria 2022

C. Valenciana6 problemas100% Resuelto

Pregunta 1

10 pts

algebra

Discusión y resolución de sistema con parámetro a

Dado el sistema

\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + z = 1 \\ x + ay + (a-1)z = a \end{cases}

. a) Discusión en función del parámetro real

a

(5 puntos). b) Todas las soluciones cuando el sistema sea compatible (5 puntos).

Pregunta 2

10 pts

algebra

Matriz 2x2 con parámetros a, b: inversa, potencias y determinante

Dada

A = \begin{pmatrix} a+b & 1 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}

: a) Valores de

a,b

para que

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

(4 puntos). b) Con esos valores,

A^3

A^4

(3 puntos). c)

\det(A^{-50})

cuando

a^2 - b^2 e 0

(3 puntos).

Pregunta 3

10 pts

geometria

Recta por dos puntos, plano paralelo y distancia punto-recta

Dados

A=(2,0,0)

B=(0,1,0)

y la recta

s: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{3}=z

: a) Ecuación de la recta

r

que pasa por

A

B

(2 puntos). b) Ecuación implícita del plano que contiene a

s

y es paralelo a

r

(4 puntos). c) Distancia de

A

s

(4 puntos).

Pregunta 4

10 pts

geometria

Punto de corte perpendicular y área del triángulo

Dados

A=(2,1,-2)

B=(3,2,3)

y el plano

\pi: 2x+2y+z=3

: a) Punto

C

de corte entre

\pi

y la recta perpendicular a

\pi

por

B

(5 puntos). b) Área del triángulo

ABC

(5 puntos).

Pregunta 5

10 pts

analisis

Integral racional con fracciones parciales y aplicación

a) Integral indefinida

\displaystyle\int \dfrac{18}{x^2-5x-14}\,dx

(5 puntos). b)

\displaystyle\int_8^t \dfrac{18}{x^2-5x-14}\,dx

en función de

t

(2 puntos). c) Valor de

t>8

para que dicha integral sea

\ln\dfrac{25}{4}

(3 puntos).

Pregunta 6

10 pts

analisis

Rectángulo de área máxima bajo la curva y = e^{-x²}

Considera

f(x) = e^{-x^2}

para

x>0

. Para cada punto

M=(x, f(x))

se trazan paralelas a los ejes, definiendo un rectángulo con los ejes coordenados. a) Área del rectángulo en función de

x

(3 puntos). b) Punto

M

de área máxima y valor del área (7 puntos).

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