Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

Ejercicio A1. Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$:

Resuelve el sistema para $\alpha = -1$ y $\alpha = 1$, si es posible.

Ejercicio B1. Sea la matriz

(a) Determina para qué valores del parámetro $m$ la matriz $A$ no tiene inversa.

(b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $m=0$.

Ejercicio A2. Se consideran la recta $r$ cuyas ecuaciones paramétricas son:

y el plano $\pi\equiv x+y+z-2=0.$ Calcula las coordenadas de un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que la distancia de $P$ al plano $\pi$ sea igual que la distancia de $P$ al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.

Ejercicio B2. Sean el punto $P=(1{,}2,a),$ donde $a\neq 0,$ y el plano $\pi\equiv x+y+2z=3.$ Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi.$

Ejercicio A3. Dada la función $f(x)=(x-1)^{2}e^{-2x},$ estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.

Ejercicio B3. Sea $f(x)=x^{3}+Ax^{2}+Bx+C.$ Encuentra los valores de los parámetros $A,\,B$ y $C$ para que $f$ se anule en el punto de abscisa $x=1$ y las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x=-1$ y $x=3$ sean paralelas a la recta $y=2x+1.$

Ejercicio A4. Calcula $\displaystyle\int\dfrac{7x+13}{(x+1)(x^{2}-x-2)}\,dx.$

Ejercicio B4. Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x)=e^{x},\;g(x)=e^{-x}$ y la recta horizontal $y=e,$ y calcula el área de ese recinto.

Ejercicio A5. Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras:

T: 4 bolas negras y 6 blancas,
R: 7 bolas negras y 3 blancas.

Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:

(a) sean negras,
(b) sean blancas,
(c) sean de distinto color.

Ejercicio B5. El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media 52 y desviación típica 6,5.

(a) Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendida entre 50 y 68 gramos.

(b) Si el 30% de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?