Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

[2,5 p.] La suma de las edades de Carmela, Esperanza y Aurora es 68 años. La edad de Carmela es 5 años más que la mitad de la suma de las edades de Esperanza y Aurora. Además, dentro de 4 años la edad de Aurora será la edad que actualmente tiene Esperanza. Calcule las edades de cada una de ellas.

Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$.

a) [1 p.] Si $I$ denota la matriz identidad de orden $3$, compruebe que $A^3 = -I$ y calcule $A^{2023}$.

b) [0,5 p.] Calcule la inversa de $A$.

c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX - B^T = A^2$, donde $B^T$ denota la matriz traspuesta de $B$.

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Un triatleta participa en una competición de SwimRun en la que debe ir desde el punto $A$, situado en la orilla de un canal de agua en reposo de $2$ kilómetros de ancho, hasta el punto $B$, situado en la otra orilla del canal y a una distancia de $10$ kilómetros del punto $C$ (punto opuesto de $A$), tal y como se indica en la figura. Para ello, debe ir nadando desde $A$ hasta cualquier punto $D$ de la otra orilla del canal y continuar corriendo desde $D$ hasta $B$. El triatleta tiene plena libertad para elegir $D$.

a) [1 p.] Sabiendo que el triatleta es capaz de nadar a una velocidad de $4$ km/h y de correr a una velocidad de $12$ km/h, demuestre que el tiempo total empleado por el triatleta en ir desde $A$ hasta $B$ (pasando por $D$) viene dado por la función $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \dfrac{10 - x}{12}$, donde $x$ denota la distancia de $C$ a $D$.

b) [1,5 p.] Calcule cuál debe ser el punto $D$ para que el tiempo empleado por el triatleta en ir desde $A$ hasta $B$ sea mínimo. ¿Cuánto tardará en dicho caso?

Considere la función $f(x) = x \ln(x)$, definida para $x > 0$.

a) [1 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.

b) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

c) [0,5 p.] Determine la primitiva de la función $f(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(1, 0)$.

Considere las siguientes rectas:

a) [1 p.] Estudie la posición relativa de ambas rectas.

b) [1,5 p.] En caso de que las rectas se corten, calcule la ecuación del plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

Considere los puntos $A = (1, -1, 2)$ y $B = (3, 5, 2)$.

a) [1,5 p.] Determine la ecuación del plano $\pi$ perpendicular al segmento $\overline{AB}$ y que pasa por el punto medio de dicho segmento.

b) [1 p.] Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi$.

Dos urnas $A$ y $B$ contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna $A$ contiene $6$ bolas verdes y $4$ bolas negras, y la urna $B$ contiene $2$ bolas verdes, $4$ bolas negras y $3$ bolas rojas. Se saca al azar una bola de la urna $A$ y se mete en la urna $B$. A continuación, se saca al azar una bola de la urna $B$. Calcule:

a) [0,75 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna $B$ sea roja.

b) [0,75 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna $B$ sea verde, sabiendo que la bola que se sacó de la urna $A$ era verde.

c) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna $B$ sea negra.

En este ejercicio trabaje con $4$ decimales para las probabilidades.

El cociente intelectual (CI) de los estudiantes universitarios sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ desconocidas. Se sabe que la media es igual a $10$ veces la desviación típica y que el $93{,}32\%$ de los estudiantes tiene un CI menor de $115$.

a) [1,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.

b) [1 p.] Si se eligen al azar $5$ estudiantes universitarios, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente $3$ de ellos tengan un CI mayor de $115$?