Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real $m$:
$$\begin{cases} x - 2my + z = 1 \\ mx + 2y - z = -1 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$$
a) (2 puntos) Discuta el sistema en función de los valores de $m$.
b) (0.5 puntos) Resuelva el sistema para el valor $m = \dfrac{1}{2}$.

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sea la función $$f(x) = \begin{cases} x^{3} e^{-1/x^{2}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$.
a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x = 0$.
b) (0.5 puntos) Estudie si $f(x)$ presenta algún tipo de simetría par o impar.
c) (1 punto) Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{f(x)}{x^{6}}\,dx.$

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Con un dispositivo láser situado en el punto $P(1, 1, 1)$ se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta de ecuaciones $$r \equiv \begin{cases} 2x - y = 10 \\ x - z = -90 \end{cases}$$.
a) (0.5 puntos) Calcule un vector director de $r$ y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide con el plano $z = 0$.
b) (1.25 puntos) Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser.
c) (0.75 puntos) Determine el ángulo entre el plano de ecuación $x + y = 2$ y la recta $r$.

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Según el Instituto Nacional de Estadística, durante el último trimestre de 2020, el porcentaje de mujeres que pertenecía al conjunto de Consejos de Administración de las empresas que componen el Ibex-35 fue del $27.7\,\%$. Se reunieron $10$ de estos consejeros.
a) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que la mitad fueran mujeres.
b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que hubiese al menos un hombre.
c) (1 punto) Determine, aproximando mediante una distribución normal, la probabilidad de que en un congreso de doscientos consejeros de estas empresas hubiera como mínimo un $35\,\%$ de representación femenina.

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se van a repartir un premio de $9450$ euros de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la edad de Alicia. Además, la edad de los tres primos juntos es de $45$ años. Sabiendo que en el reparto del premio la diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es de $420$ euros, calcule las edades de los tres primos y el dinero que recibe cada uno por el premio.

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sea $f(x) = \dfrac{x}{x^{2}+1}$.
a) (0.5 puntos) Compruebe si $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1.1]$.
b) (1 punto) Calcule y clasifique los extremos relativos de $f(x)$ en $\mathbb{R}$.
c) (1 punto) Determine el área comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 1]$.

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sean el plano $\pi \equiv x + y + z = 1$, la recta $$r_{1} \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = -1 \end{cases}\;\lambda \in \mathbb{R}$$ y el punto $P(0, 1, 0)$.
a) (0.5 puntos) Verifique que la recta $r_{1}$ está contenida en el plano $\pi$ y que el punto $P$ pertenece al mismo plano.
b) (0.75 puntos) Halle una ecuación de la recta contenida en el plano $\pi$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $r_{1}$.
c) (1.25 puntos) Calcule una ecuación de la recta, $r_{2}$, que pase por $P$ y sea paralela a $r_{1}$. Halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas $r_{1}$ y $r_{2}$.

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.
De una cesta con $6$ sombreros blancos y $3$ negros se elige uno al azar. Si el sombrero es blanco, se toma, al azar, un pañuelo de un cajón que contiene $2$ blancos, $2$ negros y $5$ con cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se elige, al azar, un pañuelo de otro cajón que contiene $2$ pañuelos blancos, $4$ negros y $4$ con cuadros blancos y negros. Se pide:
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el del sombrero.
b) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro.
c) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido de cuadros.