Grupo A — 1. Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:
a. Calcule: ∫₀^(π/2) x cos(x) dx.
b. Halle las asíntotas de la función: f(x) = (x³ + 5x²) / (x² - 1).

Grupo A — 2. Dadas las matrices: A = ((1, 1, 10), (2, 2, -3), (1, 9, 5)) ; B = ((2, 1, 10), (2, 3, -3), (0, 9, 4)) ; C = ((-1, -1, 6), (0, -3, 0)). Se plantea la siguiente ecuación matricial: X·A - C^t = X·B.
a. Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz X.
b. Halle la matriz X que cumple la ecuación.

Grupo A — 3. Dada la recta r: { x = -2λ, y = 2 + λ, z = 2 + λ }, y dado el plano π ≡ x - 3y + 5z = 2.
a. ¿Cuál es la posición relativa de la recta r y el plano π?
b. Calcular el plano π' que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

Grupo A — 4. Si una bombilla fluorescente presenta un 90% de posibilidades de tener una vida útil de al menos 800 horas, seleccionando 20 bombillas fluorescentes de este tipo, justificar si las siguientes afirmaciones son ciertas:
a. Al seleccionar exactamente 18 bombillas fluorescentes, más del 30% tienen una vida útil de al menos 800 horas.
b. La probabilidad de que dos bombillas fluorescentes o menos NO tengan una duración de al menos 800 horas es menor que 0,7.
c. El valor esperado de bombillas con una vida útil de al menos 800 horas si se toma una muestra de 100 bombillas fluorescentes es igual a 10.

Grupo B — 1. Halle los valores de a y b para que la recta de ecuación y = 6x + a sea tangente a la curva f(x) = (bx-1)/(bx+1) en el punto de abscisa x = 0. Escriba las funciones que se obtienen.

Grupo B — 2. Sea el siguiente sistema de ecuaciones: { kx + 2y + 6z = 0 ; 2x + ky + 4z = 2 ; 2x + ky + 6z = k - 2 }.
a. Discuta el sistema según los valores del parámetro k.
b. Resuelva el sistema para k = 0.

Grupo B — 3. Consideremos el punto A(1, 2, 1), y la recta r: { x+y=5 ; 3y+z=14 }.
a. Encuentre la ecuación del plano π que contiene al punto A y es perpendicular a la recta r.
b. Consideremos P(1, 4, 2), un punto de la recta r. Y sea s la recta determinada por los puntos A y P. Calcule el ángulo que forman las rectas r y s.

Grupo B — 4. Mi despertador no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, llego tarde a clase el 20% de las veces; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0,9.
a. Represente el diagrama de árbol del problema.
b. Justifique si el porcentaje de veces que llego tarde a clase y ha sonado el despertador es mayor que el 20%.
c. Justifique si la probabilidad de que no llegue tarde a clase es menor que 0,5.
d. Si un día llego tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador?