Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

Responda razonadamente:

1. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx$.
2. Asintotas de $f(x)=\dfrac{x^3+5x^2}{x^2-1}$.

Dadas $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 9\\ 10 & -3 & 5\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 1 & 3 & 9\\ 10 & -3 & 4\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ -3 & -1\\ 6 & 0\end{pmatrix}$. Se plantea $X\cdot A-C^{t}=X\cdot B$.

1. Justificar la dimension de $X$.
2. Hallar $X$.

Dadas $r:\,\begin{cases}x=-2\lambda\\ y=2+\lambda\\ z=2+\lambda\end{cases}$ y $\pi\equiv x-3y+5z=2$.

1. Posicion relativa de $r$ y $\pi$.
2. Plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

Probabilidad 0,9 de que una bombilla dure $\ge 800$ h. Se toman $n=20$; sea $X\sim B(20;\,0{,}9)$ el numero que dura $\ge 800$ h.

1. ¿Es $P(X=18)>0{,}30$?
2. ¿Es $P(Y\le 2)<0{,}7$, siendo $Y$ las que NO duran $\ge 800$ h, $Y\sim B(20;\,0{,}1)$?
3. Si $n=100$, ¿es el valor esperado de las que duran $\ge 800$ h igual a 10?

Hallar $a,b$ para que la recta $y=6x+a$ sea tangente a la curva $f(x)=\dfrac{bx-1}{bx+1}$ en $x=0$. Escribir las funciones obtenidas.

Sea $\begin{cases}kx+2y+6z=0\\ 2x+ky+4z=2\\ 2x+ky+6z=k-2\end{cases}$

1. Discutir el sistema segun $k$.
2. Resolver para $k=0$.

Sean $A(1,2,1)$ y $r:\,\begin{cases}x+y=5\\ 3y+z=14\end{cases}$.

1. Plano $\pi$ que contiene a $A$ y es perpendicular a $r$.
2. Sea $P(1,4,2)\in r$ y $s$ la recta por $A$ y $P$. Angulo entre $r$ y $s$.

El despertador no suena el 20% de las veces. Si suena, llego tarde el 20%; si no suena, llego tarde con probabilidad 0,9.

1. Diagrama de arbol.
2. ¿Es el porcentaje de "llegar tarde y haya sonado el despertador" mayor que el 20%?
3. ¿Es la probabilidad de no llegar tarde menor que 0,5?
4. Si un dia llego tarde, probabilidad de que haya sonado el despertador.