Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como $f(x)$ (medida en miligramos por litro, mg/L), depende del tiempo transcurrido $x$ (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas: fase de absorción (en las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo) y fase de eliminación (a partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse). Este comportamiento se modeliza mediante la función: $f(x)=\begin{cases} x^2-6x+11 & \text{si } 0\le x<2 \\ \dfrac{9}{\sqrt{5x-1}} & \text{si } x\ge 2 \end{cases}$. a) Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta. b) Comprobar que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que $-0{,}5$ (mg/L)/h. c) ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo respecto al tiempo? Averiguar en qué instante la concentración residual es máxima y calcular el valor. d) Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento?

Dada la matriz $M\in\mathcal{M}_{2\times 2}$, $M=\begin{pmatrix} 1 & a-3 \\ -1 & 2-a \end{pmatrix}$, con $a\in\mathbb{R}$. a) Para cualquier valor del parámetro $a$: comprobar que $M$ es invertible y dar la expresión de $M^{-1}$. b) Para $a=-1$, calcula el valor de la matriz $X$ que satisface la ecuación $MA=B-MX$, siendo $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & k & 1 \\ -4 & 4 & k \end{pmatrix}$, con $k\in\mathbb{R}$. a) Estudiar el rango de $A$ según los valores del parámetro $k$. b) Para $k=-1$, comprobar que $A^2=2A-I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 3. Además, utilizando la igualdad anterior verifica, sin calcular la potencia, que $A^4=4A-3I$.

En el espacio tridimensional, dados el punto $P(2,-1,1)$ y las rectas $r_1:\begin{cases} 4x+3y-3z=2 \\ 2x-3y-6z=1 \end{cases}$ y $r_2:\dfrac{x+3}{2}=2-y=\dfrac{z+4}{3}$. a) Comprobar que $P\in r_1$ y que $P\notin r_2$. b) Hallar la distancia entre el punto $P$ y el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$. c) Hallar el ángulo con el que se cortan las rectas $r_1$ y $r_2$.

En el espacio tridimensional se consideran $A(1,0,2)$, $\pi:-x+2y+z+1=0$ y $r:\begin{cases} 4x-7y+2z=7 \\ y-2z+5=0 \end{cases}$. a) Hallar la posición relativa del plano $\pi$ y la recta $r$. b) Hallar el punto simétrico de $A$ con respecto del plano $\pi$.

En una feria, un participante tiene la oportunidad de ganar premios eligiendo entre tres cajas sorpresa: una con premio y dos vacías. Hay una regla especial si se selecciona una caja vacía: se debe extraer al azar una bola de una urna compuesta por 2 bolas verdes y 3 negras. Si se elige la bola negra, finaliza la jugada sin premio. Si se elige la bola verde, tendrá la oportunidad de elegir una nueva caja, de las dos cajas no seleccionadas anteriormente, y acabaría la jugada. a) Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos. b) Calcular la probabilidad de obtener premio en este juego. c) Si el participante ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido una bola verde en la urna?

La temperatura diurna en el Parque Nacional de las Cañadas del Teide durante el mes de agosto sigue una distribución normal de media 22ºC y desviación típica 5ºC. Las condiciones ideales para senderismo se dan entre 18ºC y 25ºC. Si se superan los 30ºC hay riesgo de insolación; por debajo de 15ºC hay riesgo de cambios meteorológicos bruscos. a) ¿Qué probabilidad hay de que un día de agosto se den las condiciones ideales? b) ¿Cuántos días de agosto se espera que haya senderistas con riesgo de insolación? c) Si las Cañadas reciben 11 000 visitantes diarios y el 5% practica senderismo, ¿cuántos senderistas se estima que se verán afectados por cambios meteorológicos bruscos a lo largo del mes?