Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2023

Hallar la función polinómica $f(x)$ que tiene un punto mínimo en $M(1,2)$ y cuya segunda derivada es $f''(x)=2x+3$. Dar la expresión de $f(x)$. (2,5 ptos)

Se quiere construir una Casa de la Juventud de 240 m² de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada. Los anchos de la franja ajardinada son: 3 m en los lados superior, inferior e izquierdo, y 7 m en el derecho. Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa? ¿Cuál es el área del jardín? (2,5 ptos)

Dadas $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&0&0\\1&2&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&3&0\\-1&0&-1\end{pmatrix}$:

a) Comprobar si $M=2I_3+B^{t}$ tiene inversa. (0,75 ptos)

b) Justificar que existe la matriz $X$ que verifica $2X+C=A-X\cdot B^{t}$ y calcularla. (1,75 ptos)

Un bar de tapas canario ofrece tres platos: escaldón ($E$), tollos ($T$) y carajacas ($C$). El precio medio de los tres platos es 5 €. Se sirven 30 raciones de escaldón, 20 de tollos y 10 de carajacas, ingresando 255 € en total. El triple del precio de las carajacas supera en 10 € al doble del precio de los tollos. Calcular el precio de cada ración. (2,5 ptos)

Se consideran el plano $\pi:2x+3y-z=4$ y las rectas $r: \begin{cases} x+y-z=0 \\ 2x+5y+z=0 \end{cases}$ y $s:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{0}=\dfrac{z-3}{1}$.

a) Calcular el punto simétrico de $P(-2,1,2)$ respecto de $\pi$. (1,25 ptos)

b) Calcular el ángulo que forman $r$ y $s$. (1,25 ptos)

Dadas las rectas $r:\begin{cases} x+2y-7z=0 \\ 2x+3y-12z+1=0 \end{cases}$ y $s:\begin{cases} 2x-7y-3z=22 \\ x-y+z=1 \end{cases}$:

a) Estudiar la posición relativa de $r$ y $s$. (1,25 ptos)

b) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. (1,25 ptos)

Según TALIS (2018), el 11 % de los docentes de Educación Secundaria en España son menores de 30 años ($p=0{,}11$).

a) Elegimos 15 docentes. ¿Qué probabilidad hay de que haya menos de 2 menores de 30 años? (1,0 pto)

b) Se seleccionan 200 docentes. ¿Probabilidad de que entre 20 y 30 sean menores de 30 años? (1,0 pto)

c) En un grupo de 500, ¿cuántos cabe esperar que sean mayores de 30 años? (0,5 ptos)

Las estaturas en una audición siguen $X\sim N(168,\,8)$ (en cm).

a) Probabilidad de que una persona elegida tenga estatura > 156 cm. (1,0 pto)

b) ¿Es cierta la afirmación 'más del 15 % miden más de 1,82 m'? (0,75 ptos)

c) Probabilidad de que la estatura esté entre 166 y 172 cm. (0,75 ptos)