Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

Sea $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$, con $\ln$ el logaritmo neperiano.

1. Dominio, intervalos de crecimiento/decrecimiento y posibles extremos relativos de $f$.
2. Calcular $\displaystyle\int_{1}^{e} f(x)\,dx$.

Sean $f(x)=2x^4+ax^2+b$ y $g(x)=-2x^3+c$.

1. Calcular $a,b,c$ para que las graficas se corten en $P(1,1)$ y tengan misma pendiente en ese punto. Dar las expresiones.
2. Suponiendo $a=b=1$ en $f$, hallar las asintotas de $h(x)=\dfrac{f(x)}{x^3-1}$.

Dada $A=\begin{pmatrix}k & 0 & 1\\ 0 & k-1 & k-1\\ k & 1 & k-3\end{pmatrix}$:

1. Valores de $k$ para los que $A$ tiene inversa.
2. Con $k=-1$, calcular $X$ tal que $A\cdot X=24\,I_3$.

Una bombonera dispone de 24 kg de chocolate y 60 L de leche y elabora 3 productos: cajas de bombones, tabletas y paquetes de chocolate en polvo. Cajas: 2 kg + 6 L; tabletas: 4 kg + 4 L; paquetes: 1 kg + 4 L. Se fabrican 12 unidades en total, consumiendo todo el chocolate y toda la leche. ¿Cuantas de cada tipo?

Dadas $r:\,\begin{cases}x+y-z=4\\ x+2y=7\end{cases}$ y $s:\,\begin{cases}x=2\\ y+5=0\end{cases}$.

1. Estudiar la posicion relativa de $r$ y $s$.
2. Hallar la ecuacion del plano perpendicular a $r$ que pasa por $A(11,-2,5)$.

Dada $r:\,\begin{cases}2x-y=5\\ 3x-4z=-1\end{cases}$ y $\pi_1\equiv x-y+3z=12$.

1. Plano $\pi_2$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi_1$.
2. Sabiendo que $r$ corta a $\pi_1$, hallar el punto de interseccion.

El tiempo hasta la primera averia (horas) sigue $X\sim N(\mu=1500,\sigma=200)$.

1. Porcentaje de impresoras que fallan antes de 1000 horas.
2. Porcentaje de impresoras cuya primera averia es entre 1000 y 2000 horas.

El $8\%$ de los analisis de niquel son erroneos. Se realizan 10 analisis. Sea $X\sim B(10;\,0{,}08)$ el numero de analisis erroneos.

1. ¿Es $P(X\ge 3)<0{,}03$?
2. ¿Es $P(X=3)<0{,}03$?
3. Si se hacen 100 analisis, ¿es el numero esperado de correctos igual a 8?