Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Las ventas de un producto siguen $V(t)=\dfrac{5t^2}{8+t^2}$, $t\ge 0$, donde $V(t)$ son las ventas en miles y $t$ el tiempo en meses.

a) Calcular las tasas de variación media del primero y segundo semestre. Comparar e interpretar. (0,75 ptos)

b) Justificar si el modelo es creciente en su dominio. (0,75 ptos)

c) ¿En qué momento las ventas alcanzan 4000 unidades? (0,5 ptos)

d) Si la unidad se vende a 2 € y los ingresos se modelizan según las ventas mensuales, ¿hacia dónde tienden los ingresos con el tiempo? (0,5 ptos)

a) Averiguar el valor de $k$ para que $\displaystyle\lim_{x\to -2}\dfrac{kx^2-4k}{x^2+6x+8}=\dfrac{3}{2}$. (1,0 pto)

b) Resolver la integral indefinida $\displaystyle\int x\sqrt{2x-1}\,dx$. (1,5 ptos)

Dado el sistema $\begin{cases} -x+ky+2z=k \\ 2x+ky-z=2 \\ kx-y+2z=k \end{cases}$:

a) Discutir la compatibilidad según los valores de $k$. (1,5 ptos)

b) Resolver el sistema para $k=2$. (1,0 pto)

Resolver $AX+B^{t}=A^{2}$, con $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&0\\-1&2&3\end{pmatrix}$. (2,5 ptos)

Se considera el punto $P(1,-2,0)$ y la recta $r:\begin{cases} x-2y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases}$.

a) Hallar la ecuación del plano $\pi$ tal que la recta perpendicular a $\pi$ por el origen $O$ corta a $\pi$ en $P$. Averiguar el ángulo que forman $\pi$ y $r$. (1,75 ptos)

b) Hallar el punto de intersección de $r$ con $s: x-5=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-9}{3}$. (0,75 ptos)

Sean las rectas $r:\begin{cases} 8x+2y-3z+12=0 \\ -7x-y+3z=9 \end{cases}$ y $s: x=y+1=\dfrac{z-2}{2}$.

a) Comprobar que $r$ y $s$ están en un mismo plano $\pi$ y hallar la ecuación de $\pi$. (1,25 ptos)

b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por $P(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a $r$. (1,25 ptos)

El sobre contiene 4 billetes de 5 €, 6 billetes de 10 € y 2 billetes de 50 € (12 en total). Aythami saca 2 billetes sin reemplazamiento, de forma consecutiva.

a) Expresar el espacio muestral. (0,5 ptos)

b) Probabilidad de que la suma sea suficiente para comprar un videojuego de 57 € (suma ≥ 57). (1,0 pto)

c) Si obtiene 60 €, probabilidad de que el primer billete fuera de 10 €. (1,0 pto)

La probabilidad de que un coche sufra un reventón en una competición es $p=0{,}04$. En una competición participan 10 coches.

a) $P(X=2)$ (probabilidad de 2 reventones). (0,5 ptos)

b) Se afirma que $P(X>2)\le 0{,}01$. ¿Es cierto? (1,0 pto)

c) En una temporada con 250 coches, ¿$P(\text{reventones}>12)$? (Independencia de los sucesos). (1,0 pto)