Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Dada la funcion $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+a}{2x-4} & x\le 0\\ 10x^2+x+b & x>0\end{cases}$

Calcular los valores de los parametros a y b para que la funcion $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Dar las expresiones de la funcion $f(x)$ y de su derivada $f'(x)$.

Dadas las funciones $f(x)=x^2-4x$ y $g(x)=4-4x$:

1. Esbozar el grafico del recinto limitado por las funciones $f(x)$ y $g(x)$.
2. Determinar el area del recinto limitado por las funciones $f(x)$ y $g(x)$.

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 4 & 2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 4 & -1\end{pmatrix}$.

1. Sea $M=A+c\cdot B$, con $c\in\mathbb{R}$. Calcular los valores de $c$ tales que rango$(M)=1$.
2. Sea $D=A^2+B\cdot A$. Hallar la matriz $X$ tal que $D\cdot X=-30\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 4\end{pmatrix}$.

En la liga Mate-Basket las tres mejores anotadoras (Lovelace, Noerther, Germain) suman 17.500 puntos. Ademas, lo anotado por Germain mas 2500 puntos equivale a la mitad de lo anotado por Lovelace. Finalmente, Noerther anoto el doble que Germain. ¿Cual es el ranking de puntuaciones de Lovelace, Noerther y Germain?

Dadas las ecuaciones $r:\,5-x=y-3=5-z$ y $\pi:\,3x-4y-8z+35=0$:

1. Comprobar que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto. Hallarlo.
2. Calcular la ecuacion del plano que pasa por $A(2,2,2)$, paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$.

Dado el plano $\pi:-x+3y+2z+5=0$ y las rectas $r:\dfrac{x-5}{2}=y+2=1-z$, $s:\dfrac{x+1}{6}=\dfrac{y}{-2}=z$:

1. Sea $A$ el punto de interseccion de $r$ y $s$. Hallar la ecuacion de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A$.
2. Calcular el angulo que forman las rectas $r$ y $s$.

Lotes de 20 arandelas con probabilidad de defecto $p=0{,}01$ y sucesos independientes.

1. ¿Es la probabilidad de encontrar 1 o 2 defectuosas mayor del 20%?
2. Si se rechaza con al menos una defectuosa, ¿cual es la probabilidad de rechazar el lote?
3. Numero esperado de arandelas sin defectos en un lote de 200.

El tiempo de espera (en minutos) sigue $X\sim N(\mu=7{,}5;\,\sigma=2)$.

1. Porcentaje de personas que esperan mas de 9 minutos.
2. ¿Es cierto que menos del 40% espera entre 7 y 10 minutos?