Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2024

Se considera la función:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - bx + 9}{x^2 + 3}, & x \le 0 \\[4pt] \dfrac{ax}{e^{x}-1} + 2, & x > 0 \end{cases}$

a) Estudiar los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua y derivable en $x=0$. (1,75 ptos)

b) Para los valores $a=1$ y $b=-2$, hallar la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en $x=-1$. (0,75 ptos)

El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas $y=x(3-x)$ e $y=x^2-7x+8$, donde la unidad de medida es el metro.

Representar un esbozo de la base metálica y calcular el presupuesto de su construcción si el precio del m² del material es de 65 €. (2,5 ptos)

Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar.

• La razón entre la suma y la diferencia de las cantidades de Aythami ($A$) y Besay ($B$) es $11/5$.
• La diferencia entre las cantidades de Aythami y Chamaida ($C$) es el doble de lo que ha puesto Besay.
• El doble de la suma de las cantidades de Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami.

Hallar la cantidad de dinero que aporta cada uno. (2,5 ptos)

Dada la matriz $M_k=\begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ 2k-3 & 0 & k \end{pmatrix}$, con $k\in\mathbb{R}$:

a) Estudiar el rango de $M_k$ según los valores de $k$. (1,25 ptos)

b) Tomando $M_1$ (para $k=1$) y $B=\begin{pmatrix}-4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}$, hallar la matriz $X$ que satisface $X\cdot M_1 + X\cdot M_1^{T}=B$. (1,25 ptos)

En el espacio tridimensional se consideran las rectas:

$r_1: \begin{cases} x - 3y + 2z + 2 = 0 \\ 2x + y - 3z = 3 \end{cases},\quad r_2: \dfrac{1-x}{2}=y=\dfrac{1-z}{2}$

a) Estudiar la posición relativa de las rectas. (1,0 pto)

b) Hallar la ecuación de la recta $s$ que tiene dirección perpendicular a ambas y pasa por $P(0,\,1/2,\,0)$. Calcular el punto de corte de $s$ con $r_1$. (1,5 ptos)

a) Justificar si pueden existir vectores $\vec u$ y $\vec v$ que comparten el origen y verifican $|\vec u|=2$, $|\vec v|=3$ y $\vec u\cdot\vec v=8$. (0,75 ptos)

b) Dados $\pi: x+3y+2z+3=0$ y $r: \begin{cases} 2x-3y-z=4 \\ x+y+2z=-3 \end{cases}$, calcular el punto de corte de $r$ y $\pi$, y el ángulo que forman. (1,75 ptos)

Una enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio hay 3 tubos con virus A, 2 con B y 5 con C. Las probabilidades de que cada virus produzca la enfermedad son $P(\text{E}|A)=1/3$, $P(\text{E}|B)=2/3$, $P(\text{E}|C)=1/7$.

a) Se elige un tubo al azar y se inocula a un animal. ¿Cuál es la probabilidad de que le produzca la enfermedad? (1,5 ptos)

b) Si no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que el virus inyectado fuera C? (1,0 pto)

El delantero marca gol en 3 de cada 5 penaltis ($p=0{,}6$). Lanza $n=70$ penaltis por entrenamiento.

a) Calcular $P(40\le X\le 45)$. (1,25 ptos)

b) Si la probabilidad de marcar más de la mitad supera el 90 %, se selecciona. ¿Será seleccionado? (0,75 ptos)

c) Si en una temporada lanza 450 penaltis, calcular el número esperado de goles. (0,5 ptos)