La empresa «Plátanos Islas Canarias» se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función

$$C(x) =$$$\dfrac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}\text{,}\quad x \geq 0$

donde $C(x)$ son miles de €, $x$ miles de kilos de plátanos producidos.

a) Averiguar el coste de producción de un kilo.
b) Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos?
c) Un economista afirma que, superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuye. Justificar la veracidad de la afirmación.
d) Calcular $\int_0^1 C(x)\,dx$. Interpretar el resultado en el contexto del problema.

Dada la función definida por $f(x) =$$\dfrac{\ln(x+2)+a}{3x+4}$:

a) Determinar el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ es $10$. Dar la expresión de la función.
b) Para el valor $a=0$, estudiar el dominio y las asíntotas de la función $f(x)$.

Resolver el siguiente sistema matricial:

$$5X - 4Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix}$$$\text{,}\qquad 4X - 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix}$

Dado el sistema de ecuaciones lineales con parámetro $k\in\mathbb{R}$:

$$\begin{cases} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{cases}$$

a) Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro $k$.
b) Resolver el sistema cuando $k=4$.

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

$$P(-7$$$\text{,}\,3\text{,}\,4)\text{,}\quad r:\begin{cases} x+y-1=0 \\ x+z+1=0 \end{cases}\text{,}\quad \pi: x+2y-5z+5=0$

a) Encontrar el punto $A$, intersección del plano $\pi$$\pi$ con una recta $s$; esta recta $s$ es una recta paralela a $r$ y que pasa por el punto $P$.
b) Hallar el ángulo que forma la recta $r$ y el plano $\pi$$\pi$.

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes:

$$r:\begin{cases} 3x+2y-z=1 \\ 2x-y+z+4=0 \end{cases}\qquad s:\begin{cases} x=3+$$\lambda \\ y=\lambda \\ z=1+\lambda \end{cases}

a) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.
b) Encontrar el plano $\pi$$\pi$, paralelo a la recta $r$ y que contiene a la recta $s$.

En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, $0{,}96$, $0{,}98$ y $0{,}99$.

a) Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos.
b) Calcular la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente.
c) Calcular la probabilidad de que funcione algún paracaídas.

Un juego de ruleta tiene $25$ casillas numeradas del $1$ al $25$. Un jugador gana si sale un número par.

a) Si juega $100$ veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones.
b) Si juega $200$ veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre $90$ y $110$ veces es menor que $3/4$. Justificar si esta afirmación es cierta o no.