Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

El modelo logístico describe la evolución de una población con recursos limitados, estabilizándose en la capacidad de carga del entorno. Un grupo de investigadores ha modelizado el número de hormigas tras $t$ meses con $H(t)=\dfrac{6400}{1+159\,e^{-0{,}5t}}$. a) ¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente? b) ¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo año? Interpretar el resultado. c) Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justificar matemáticamente si esta afirmación es o no correcta. d) ¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga?

En la fabricación de piensos para peces, una empresa usa tres materias primas: subproductos vegetales (20% proteína, 10% grasa, 10% carbohidratos), harinas (40%, 20%, 30%) y subproductos cárnicos (60%, 10%, 30%). Se preparan 1000 kg de pienso con 36% de proteína, 12% de grasa y 20% de carbohidratos. ¿Qué cantidad de cada materia prima se ha de utilizar?

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: $\begin{cases} 4X-5Y=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -9 & -4 & -6 \\ 17 & 3 & 13 \end{pmatrix} \\ 6X+4Y=\begin{pmatrix} 10 & 4 & -10 \\ 12 & 10 & 22 \end{pmatrix} \end{cases}$

En el espacio tridimensional, se considera la recta $r:\begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x-y+z=10 \end{cases}$ y el plano $\pi: x-y+2z-5=0$. a) Comprobar que el plano $\pi$ y la recta $r$ se cortan. Dar la ecuación de la recta $s$, contenida en el plano $\pi$, que corta perpendicularmente a $r$. b) Hallar el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$.

En el espacio tridimensional, se tienen las rectas $r:\begin{cases} x+y-2z=3 \\ 2x+y-6z=2 \end{cases}$ y $s: x-1=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{2}$. a) Comprobar que $r$ y $s$ son coplanarias. b) Hallar la ecuación del plano que las contiene.

Se está desarrollando una prueba para detectar una enfermedad rara que afecta al 1% de la población adulta. Se sabe que la sensibilidad de la prueba (dar positivo cuando la persona está enferma) es del 95%, y la especificidad (dar negativo cuando la persona está sana) es del 98%. a) Calcular la probabilidad de que esté realmente enfermo cuando la prueba da positivo. b) Si una población de 35 000 individuos se somete a la prueba, ¿podríamos afirmar que se espera que habrá más de 50 personas que estarán enfermas, aún cuando han obtenido un resultado negativo en el test?

El ISTAC ha encuestado a 1 800 estudiantes de nuevo ingreso provenientes de islas no capitalinas; el 27% solicita plaza en residencia universitaria. a) Comprobar si hay más de un 90% de posibilidades de recibir entre 460 y 510 solicitudes. b) A partir de 525 solicitudes, las universidades deberían construir nuevas residencias. ¿Qué probabilidad hay de que deban adoptar esta medida?