Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix}3 & 1 & 2\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ e $$I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$. a) [1 punto] Calcula razonadamente la matriz inversa de $A$. b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX+3I=A$.

a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in\mathbb{R}$: $$\begin{cases}x+ay+z=2\\x+z=a\\ax+2y+z=3\end{cases}$$. b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a=2$, si es posible.

a) [1,25 punto] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int x\cdot\cos(3x)\,dx$. b) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \dfrac{dx}{2x^2+1}$.

Sean los planos $\pi_1\equiv ax+y+2z=3$ y $\pi_2\equiv 2x-y+az=0$. a) [1 punto] Determina razonadamente el valor de $a$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares. b) [1,5 puntos] Para $a=1$ calcula la distancia del punto $P(2,0,1)$ al plano $\pi_1$.

a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{e^{x-1}-1}$. b) [1,5 puntos] Dada la función $$f(x)=\begin{cases}e^x & \text{si }x<0\\\dfrac{1}{x-1} & \text{si }0\le x\le 2\\x & \text{si }x>2\end{cases}$$, estudia su continuidad en $x=0$ y en $x=2$ e indica el tipo de discontinuidad, si la hubiera.

Sea la función $f(x)=\dfrac{2x^2+2x-2}{3x^2+3}$. a) [1,5 puntos] Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifícalos. b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.

a) [1 punto] Sea la función $f(x)=ax^3+bx^2+x-1$, con $a,b\in\mathbb{R}$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1,1)$ y tenga aquí un punto de inflexión. b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x)=x\sin(x)-\cos(x)$. Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1,1]$.

a) En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20% de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60% de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90% de pacientes leves y un 10% de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar: a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital? a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve? b) En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias. b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves? b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves? [Se adjunta tabla binomial en el PDF original]