Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in\mathbb{R}$:

b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a=2$, si es posible.

a) [1,25 punto] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int x\cdot\cos(3x)\,dx$.

b) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int\dfrac{dx}{2x^{2}+1}$.

a) [1 punto] Determina razonadamente el valor de $a$ para que los planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ sean perpendiculares.

b) [1,5 puntos] Para $a=1$ calcula la distancia del punto $P(2,0,1)$ al plano $\pi_{1}$.

a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{e^{x-1}-1}$.

b) [1,5 puntos] Dada la función $$f(x)=\begin{cases} e^{x} & \text{si } x<0\\ \dfrac{1}{x-1} & \text{si } 0\le x\le 2\\ x & \text{si } x>2\end{cases},$$ estudia su continuidad en $x=0$ y en $x=2$ e indica el tipo de discontinuidad, si la hubiera.

a) [1,5 puntos] Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifícalos.

b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.

a) [1 punto] Sea la función $f(x)=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+x-1$, con $a,b\in\mathbb{R}$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1,1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.

b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x)=x\operatorname{sen}(x)-\cos(x)$. Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1,1]$.

a) En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20 % de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60 % de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90 % de pacientes leves y un 10 % de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?

b) En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?

Se proporciona la tabla de la distribución binomial $B(n=8,p)$ con $p\in\{0{,}1,\,0{,}2,\,\ldots,\,0{,}9\}$.