Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

a) [1 punto] Calcula razonadamente la matriz inversa de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX + I_{3} = BC$, donde $I_{3}$ es la matriz identidad.

a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in\mathbb{R}$:

b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\!\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\operatorname{sen}(2x)}\right)$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

donde $\ln$ es el logaritmo neperiano, estudia la continuidad de la función $f(x)$ en $x = 1$ y en $x = 2$, y clasifica el tipo de discontinuidad si las hubiera.

a) [1,5 puntos] Calcula las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de $108\;dm^{3}$ para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.

b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^{2} + x - 1$ en el punto de abscisa $x = 1$.

a) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int \frac{-dx}{1 + e^{x}}$. (Cambio de variable sugerido: $e^{x} = t$.)

b) [1,25 puntos] Determina justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones $f(x) = -x^{2} + 2x + 4$ y $g(x) = x + 2$.

a) [1 punto] Calcula razonadamente la distancia del punto $P(1, 2, -1)$ al plano $\pi$.

b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$, y los puntos $B(1, -1, 2)$ y $C(0, 1, 1)$.

a) [1,25 puntos] Determina razonadamente la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

b) [1,25 puntos] Halla razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto $P$ y es paralelo a las rectas $r$ y $s$.

a) El 70 % de los usuarios de instagram tiene menos de 34 años, el 25 % entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el 5 % más de 54 años. Se sabe que acceden a diario a dicha red: el 98 % de los menores de 34 años, el 40 % de los usuarios entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el 10 % de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:

• a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?
• a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluidos)?

b) El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.

• b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?
• b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al día?

[Se adjunta tabla de la distribución $N(0,1)$ en el PDF original con valores entre $a=1{,}3$ y $a=2{,}4$.]