Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

a) Obteña a matriz antisimétrica $A$ de orde $2 \times 2$ tal que $a_{12} = 1$. Logo, calcule a súa inversa no caso de que exista. Nota: $a_{ij}$ é o elemento que está na fila $i$ e na columna $j$ de $A$.
b) Sexa $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$. Se $$B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}$$, ache os valores de $b_{12}$ e de $b_{22}$ sabendo que $B$ non ten inversa e que $\det(A^{-1}B + A) = -1$.

Discuta, segundo os valores do parámetro $m$, o sistema
$$\begin{cases} (m+1)x + my + z = 0, \\ y + (m-2)z = -2, \\ (m+1)x + my + (m-1)z = -3. \end{cases}$$

a) Obteña as coordenadas dos vértices do triángulo rectángulo cuxa hipotenusa é tanxente á gráfica de $f(x) = x^2$ no punto de abscisa $x = 2$ e que, ademais, ten un cateto de lonxitude 2 situado sobre o eixe $X$. Debuxe a gráfica de $f$, a recta tanxente e o triángulo.
b) Ache os valores de $a$ e $b$ que fan que a función $$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \leq 1, \\ ax^2 + bx & \text{se } x > 1 \end{cases}$$ sexa derivable.

Calcule as seguintes integrais:
a) $\displaystyle\int 2x\sqrt{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$.
b) $\displaystyle\int (\sin x)\sin(\cos x)\,\mathrm{d}x$.
c) $\displaystyle\int x^2 \sin x\,\mathrm{d}x$.
d) $\displaystyle\int \frac{1}{(x-1)(x-2)}\,\mathrm{d}x$.

a) Obteña a ecuación implícita ou xeral do plano $\pi$ que contén á recta $r: \dfrac{x+1}{3} = \dfrac{y+2}{2} = \dfrac{z+3}{1}$ e pasa polo punto $P(0,1,0)$.
b) Calcule o punto simétrico de $P(11,-14,13)$ con respecto ao plano $\pi: 3x - 8y + 7z + 8 = 0$.

Estude a posición relativa da recta $r: \dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-1}{k} = \dfrac{z}{3}$ e o plano $\pi: ax + 4y + 3az + 2 = 0$ en función dos parámetros $k$ e $a$. Logo, se é posible, diga cando $r$ é perpendicular a $\pi$.

a) Nunha famosa biblioteca, o 70% dos libros son novelas, o 40% son clásicos anteriores ao século XIX e o 60% dos clásicos son novelas. Se se elixe nesa biblioteca un libro ao azar, calcule a probabilidade de que non sexa unha novela, pero si un clásico, e a probabilidade de que sexa un clásico sabendo que é unha novela.
b) Nun certo país, o 80% dos delitos contra a propiedade quedan sen resolver. Se nunha localidade dese país se cometeron 3 deses delitos, calcule a probabilidade de que se resolva polo menos 1.

a) Faise un exame tipo test con 60 preguntas e 4 opcións por pregunta, das que só unha é correcta. Calcule a probabilidade de acertar polo menos 16 preguntas se se responden as 60 ao azar.
b) Se $X$ segue unha distribución normal de media 25 e desviación típica 2, calcule $P(X < 24)$. Logo, calcule o valor de $\alpha > 0$ tal que $P(25 - \alpha < X < 25 + \alpha) = 0.2128$.