Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2026

CONTEXTO
Renfe opera un servicio Alvia entre Santiago de Compostela y Barcelona-Sants. Los datos históricos muestran que, en condiciones operativas habituales, el tiempo de viaje sigue una distribución normal con una media de 765 minutos y una desviación típica de 18 minutos.
Sin embargo, durante los meses de invierno es frecuente que se produzcan incidencias meteorológicas que obligan a reducir la velocidad en ciertos tramos de la ruta. Esto ocurre aproximadamente el 30 % de los días de la temporada. Cuando se activa el protocolo por incidencia, la distribución del tiempo de viaje sigue siendo normal, pero pasa a tener una media de 810 minutos y una desviación típica de 40 minutos.
La compañía ferroviaria define que existe un “retraso significativo” cuando el tiempo de viaje supera los 780 minutos en un día sin incidencias, o los 840 minutos en un día con incidencia meteorológica declarada.
Responda estos dos apartados: 1.1. y 1.2.
(Será preciso usar alguno o algunos de los siguientes valores, aunque no todos (entiéndase que $Z$ sigue una distribución $N(0,1)$): $P(Z\leq0.3)=0.6179$, $P(Z\leq0.75)=0.7734$, $P(Z\leq0.83)=0.7967$, $P(Z\leq1.125)=0.8697$, $P(Z\leq4.16)=1$.)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.
2.1. Considérese la igualdad matricial $A(X-I)B=C$, donde $X$ es cuadrada e $I$ es la matriz identidad.

Responda dos de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.
3.1. Para cada uno de los siguientes casos, dibuje, cuando sea posible, la gráfica de una función que cumpla las propiedades indicadas:
a) Continua pero no derivable en $x=0$.
b) Continua en $[a,b]$, con $f(a)f(b)<0$, y cuya gráfica corte al eje $x$ en más de un punto del intervalo $(a,b)$.
c) Continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, con $f(a)f(b)<0$, $f^\prime>0$ en $(a,b)$, y cuya gráfica corte al eje $x$ en más de un punto del intervalo $(a,b)$.
d) Dos veces derivable en $\mathbb R$, con $f^{\prime\prime}>0$ en $\mathbb R$ y monótona en $\mathbb R$.
3.2. Calcule los siguientes límites:
a) $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x}$.
b) $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x-1}{\ln x}$.
c) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{\sin x}$.
d) $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\ln x$.
3.3. Calcule el valor que tiene que tomar el parámetro positivo $a$ para que el área de la región encerrada por la gráfica de la función $f(x)=ax^2-2ax$ y el eje $x$ sea igual a 10 unidades de superficie. Haga un dibujo de la región.

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.
4.1. Sea $r$ la recta que pasa por el origen y por $P^\prime$, siendo $P^\prime$ el punto simétrico de $P(1,0,1)$ con respecto al punto $Q(0,1,0)$. Se pide:
4.1.1. Obtenga $P^\prime$ y las ecuaciones paramétricas de $r$.
4.1.2. Determine la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$.
4.2. Considérense los puntos $P(1,0,1)$, $Q(0,1,0)$ y $R(1,1,1)$.
4.2.1. Demuestre que $P$, $Q$ y $R$ no están alineados y obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por ellos.
4.2.2. Calcule el valor o valores de $a$ que hacen que la distancia del punto $S(a,0{,}0)$ a ese plano $\pi$ sea igual a $\sqrt2$ unidades de longitud.