Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Dado el sistema de ecuaciones lineales con la matriz de coeficientes ((2, a+1, 1),(1, a, 2),(1, 1, a+2)) y vector de términos independientes (-1, 1, 2), en el cual a es un parámetro real:

Dadas las matrices A = ((0,-1,-2),(-1,0,-2),(1,1,3)) e I = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), obtened:

Dados los puntos A = (2, -1, 0), B = (1, 2, 3) y C = (-1, 0, 0): a) [3 pts.] Encontrad la ecuación implícita de la recta r que contiene los puntos A y B. b) [4 pts.] Encontrad la ecuación del plano π, perpendicular a la recta anterior r y que contiene el punto C. c) [3 pts.] Calculad la distancia del punto A al plano π.

Dada la recta r: (x,y,z) = (1,1,0) + λ(-1,-1,2) y el plano π: 5x + my + z = 2: a) [6 pts.] Obtened la posición relativa de r y π en función de m. b) [4 pts.] Para m = 1, calculad el plano π' que contiene a r y es perpendicular a π.

Consideramos la función f(x) = (-2x² + x + 1)/(2x² + 5x + 2). a) [2 pts.] Comprobad que x = -1/2 es una discontinuidad evitable. b) [4 pts.] Calculad los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) [4 pts.] Obtened ∫f(x)dx.

Una ventana rectangular está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 20 metros, calcular: a) [3 pts.] El área de la ventana en función de su anchura x. b) [5 pts.] Las dimensiones que ha de tener la ventana para que permita la máxima entrada de luz. c) [2 pts.] El valor de dicha área máxima.

En una urna hay tres bolas verdes, cuatro rojas y cinco amarillas, todas del mismo tamaño. a) [5 pts.] Se extrae una bola de la urna, se mira el color y se devuelve. Se repite la operación otra vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el color de las dos bolas extraídas sea el mismo? ¿Y la probabilidad de que sean diferentes? b) [5 pts.] Se extraen al mismo tiempo tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean de colores diferentes?

Una empresa tiene dos plantas de producción de teléfonos portátiles. La primera planta produce defectuosos con una probabilidad de 0,02 y la segunda con una de 0,06. Al comprar un portátil de la empresa, la probabilidad de que sea de la primera planta es de 0,7. Compramos uno. Determinar: a) [4 pts.] La probabilidad de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso. b) [6 pts.] Sabiendo que el portátil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la primera planta de producción.