Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN
Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen.
CALIFICACIÓN: Cada pregunta se calificará sobre 2.5 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Dadas las matrices A = $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ y B = $$\begin{pmatrix} b & 0 \ 1 & b \end{pmatrix}$$, se pide:

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Un equipo de ingenieros realiza pruebas de consumo de un nuevo veh´ıculo h´ıbrido. El gasto en litros de combustible por cada 100 kilómetros en función de la velocidad, medida en decenas de kilómetros por hora, es
$$c(v)=\begin{cases} \dfrac{5v}{3} & \text{si } 0\le v < 3,\ 14-4v+\dfrac{v^{2}}{3} & \text{si } v\ge 3. \end{cases}$$
a) (1 punto) Si en una primera prueba el veh´ıculo tiene que circular a más de 3 decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el veh´ıculo para obtener un consumo m´ınimo?
b) (1.5 puntos) Si en otra prueba el veh´ıculo debe circular a una velocidad v tal que 1 ≤ v ≤ 8, ¿cuáles serán el máximo y el m´ınimo consumo posibles del veh´ıculo?

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sean el plano $\pi: z = 1$, los puntos $P(1, 1, 1)$ y $Q(0, 0, 1)$ y la recta r que pasa por los puntos P y Q.
a) (0.25 puntos) Verifique que los puntos P y Q pertenecen al plano $\pi$.
b) (1 punto) Halle una recta paralela a r contenida en el plano $z = 0$.
c) (1.25 puntos) Halle una recta que pase por P y tal que su proyección ortogonal sobre el plano $\pi$ sea la recta r, con la cual forme un ángulo de $\dfrac{\pi}{4}$ radianes.

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sabiendo que $P(A) = 0.5$, $P(A|B) = 0.625$ y $P(A \cup B) = 0.65$, se pide calcular:
a) (1.5 puntos) $P(B)$ y $P(A \cap B)$.
b) (1 punto) $P(A|A \cup B)$ y $P(A \cap B|A \cup B)$.

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Dado el sistema $$\begin{cases} -2x + y + kz = 1 \ kx - y - z = 0 \ -y + (k-1)z = 3 \end{cases}$$, se pide:
a) (1.25 puntos) Discutirlo en función del parámetro k.
b) (0.5 puntos) Resolverlo para k = 3.
c) (0.75 puntos) Resolverlo para k = 3/2 y especificar, si es posible, una solución particular con x = 2.

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Dadas las funciones $f(x) = 2 + 2x - 2x^2$ y $g(x) = 2 - 6x + 4x^2 + 2x^3$, se pide:
a) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de $h(x) = \bigl|f(x)\bigr|$.
b) (1.5 puntos) Hallar el área de la región acotada por las curvas $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = 0$ y $x = 2$.

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Dados el plano $\pi: x + 3y + 2z + 14 = 0$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x = 2 \ z = 5 \end{cases}$$, se pide:
a) (0.5 puntos) Hallar el punto del plano $\pi$ más próximo al origen de coordenadas.
b) (1 punto) Calcular la proyección ortogonal del eje OZ sobre el plano $\pi$.
c) (1 punto) Hallar la recta con dirección perpendicular a r, que esté contenida en $\pi$, y que corte al eje OZ.

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.
El 65 % de los universitarios de 18 años que intentan superar el examen práctico de conducir lo consigue a la primera. Se escogen al azar 10 universitarios de 18 años que ya han superado el examen práctico de conducir. Se pide:
a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente 3 de ellos necesitaran más de un intento para superar el examen práctico de conducir.
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos haya necesitado más de un intento para superar el examen práctico de conducir.
c) (1 punto) Aproximando por una distribución normal, determinar la probabilidad de que, dados 60 de estos universitarios, como m´ınimo la mitad superase el examen práctico de conducir a la primera.
Observación: la tabla anexa de la distribución Normal $N(0,1)$ permite, por ejemplo, leer $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.
La tabla anexa de la distribución Normal $N(0,1)$ recoge $P(Z < z)$ para $z = 0{,}0;\,0{,}1;\,0{,}2;\,0{,}3;\,0{,}4;\,0{,}5;\,0{,}6;\,0{,}7;\,0{,}8;\,0{,}9;\,1{,}0;\,1{,}1;\,1{,}2;\,1{,}3;\,1{,}4;\,1{,}5;\,1{,}6;\,1{,}7;\,1{,}8;\,1{,}9;\,2{,}0;\,2{,}1;\,2{,}2;\,2{,}3;\,2{,}4;\,2{,}5;\,2{,}6;\,2{,}7;\,2{,}8;\,2{,}9;\,3{,}0$.