Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Sea a ∈ ℝ y P = ((1,-1,a),(1,1,0),(0,2,-2)). (a) (0.75 puntos) Calcula el determinante y el rango de P para cada valor de a. (b) (1 punto) Para a=1 ¿existe P⁻¹? En caso afirmativo calcúlala. (c) (0.75 puntos) Para a=1, calcula det(M) sabiendo que PM = M².

Dado a ∈ ℝ, se considera el sistema: x - y + az = -1; 2x + y = 1; y + 2z = 1. (a) (1 punto) Discute el sistema según los valores de a. (b) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para el caso a = -3 si es posible. (c) (0.75 puntos) Encuentra, en caso de que exista, un valor de a que verifique x = 1. Calcula la solución en ese caso.

Sean A, B ∈ ℝ y f(x) = (x² + A)/(Bx - 1). (a) (0.75 puntos) Calcular A y B para que la gráfica de la función pase por el punto (0, -3) y tenga un extremo relativo en x = -1. (b) (1.25 puntos) Para los valores de A = 3 y B = 1, estudia si la función tiene asíntotas y extremos relativos. (c) (0.5 puntos) Para los valores A = 3 y B = 1, y basándose en los resultados obtenidos en el apartado anterior, realice un esbozo de la función.

Se considera la función f(x) = x·e^(2x²). Se pide: (a) (1.5 puntos) Calcula una primitiva de f(x), que pase por el punto (0, -1). (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable t = 2x²). (b) (1 punto) Calcula el área encerrada por la gráfica de f, las rectas x = 0 y x = 1.

Sea s la recta de ecuación x-2 = (y-2)/(-1) = z, y r la recta que pasa por los puntos A = (1,0,1) y B = (2,1,2). (a) (1 punto) Indica la posición relativa de r y s. (b) (0.75 puntos) Calcula el plano paralelo a r y que contiene a s. (c) (0.75 puntos) Calcula la distancia entre las rectas r y s.

Dados dos planos π ≡ x + y + z = 3, π' ≡ x + y = 3 y el punto A = (2, 1, 6). (a) (0.75 puntos) Calcula un vector director y un punto de la recta r intersección de los planos π y π'. (b) (1 punto) Calcula el punto P de π tal que el segmento AP es perpendicular al plano π. (c) (0.75 puntos) Calcula el punto A' simétrico de A respecto del plano π.

Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el 60% de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el 1.6% de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B sólo el 0.9% son defectuosas. Se toma una caja al azar: (a) (1.25 puntos) Calcula la probabilidad de que la caja sea defectuosa. (b) (1.25 puntos) Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A.

Las calificaciones de la asignatura Análisis Matemático I de la Facultad de Matemáticas siguen una distribución N(5, 2). (a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota mayor o igual que 7.5. (b) (0.75 puntos) Calcula la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota entre 3 y 5. (c) (1 punto) Se modifica sistema de enseñanza de forma que la desviación típica ahora es 1.5 y la probabilidad de obtener una nota menor o igual que 6, sea 0.52. ¿Cuál sería la nueva media? ¿Ha funcionado el sistema aplicado? Algunos valores: F(0)=0.5, F(1.25)=0.8944, F(0.05)=0.52, F(0.52)=0.6985, F(0.8944)=0.8133, F(1)=0.8413.