Sea el sistema de ecuaciones lineales: { -2x + y - z = -1 ; -x + a·y - z = 2 ; 2x + y + a·z = -2 }, con a∈ℝ. a) [1,75 puntos] Discute cómo es el sistema en función de los valores del parámetro a. b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para a = 2, si es posible.

Una empresa desea construir un aparcamiento para sus empleados y necesita vallarlo de manera que la región resultante sea un rectángulo más medio círculo. El rectángulo tiene los lados h, r∈ℝ; el radio del semicírculo es h/2. La empresa cuenta con 80 metros de valla, que ha de ser el perímetro del aparcamiento, y desea el mayor área posible. a) [1 punto] Escribe el área del aparcamiento en función del valor h. b) [1,5 puntos] ¿Cuánto deben valer h y r para que el área del aparcamiento sea la mayor posible?

a) Tenemos dos urnas con bolas. La urna A tiene 6 bolas rojas y 8 negras y la urna B tiene 8 bolas rojas y 10 negras. Disponemos de un dado de 12 caras numerado del 1 al 12. Lanzamos el dado y si sale un múltiplo de 4 se extrae una bola de la urna A; si sale otro número, se extrae una bola de la urna B. a.1) [0,5 puntos] Probabilidad de obtener una bola roja. a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A? b) Una empresa de mensajería sabe que la probabilidad de que el destinatario esté ausente y no pueda hacer la entrega durante el reparto es del 25%. Un repartidor ha de entregar 6 paquetes. b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente? b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?

Sean el plano π ≡ a·x + y - z = 1, con a∈ℝ, y los puntos A(1, 0, 0) y B(b, 1, -1), con b∈ℝ. a) [1,75 puntos] Determina el valor de a y b para que el vector AB sea perpendicular al plano π y el punto A esté contenido en el plano π. b) [0,75 puntos] Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, escribe la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano π.