Discutir el sistema en función de $\alpha$, y resolverlo para $\alpha=3$: $$\begin{cases} \alpha x-y+z=1 \\ 3x-y+\alpha z=1 \\ x+(\alpha-1)z=1 \end{cases}$$

Sea $$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha & -1 \end{pmatrix}$$. a) Determinar para qué valores del parámetro $\alpha$ la matriz $A$ no tiene inversa. b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $\alpha=2$.

Sea $r$ la recta que pasa por $A=(1,a,-1)$ y $B=(b,1,1)$, y $\pi:\ x+y-2z=2b$. a) Calcular $a$ y $b$ para que $r$ sea perpendicular al plano $\pi$. b) Calcular $a$ y $b$ para que $r$ esté contenida en el plano $\pi$.

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por $P=(-2,1,0)$ y corta perpendicularmente a la recta $r: \{x=1-2t,\ y=1+t,\ z=t\}$. Calcular la distancia de $P$ al punto de corte de ambas rectas.

Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)=5+8x^2-x^4$. Representar gráficamente.

Sea $f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+1$. a) Obtener $A, B, C$ para que la gráfica de $f$ pase por $(0,1)$ y tenga un mínimo en el punto $(1,1)$. b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.

Sean $f(x)=1/x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=x^2/8$. a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones. b) Calcular el área de dicho recinto.

Calcular, explicando los métodos utilizados, $I=\int(x+2)\sin(2x)\,dx$ y $J=\int\dfrac{x+7}{x^2-4x-5}\,dx$.

En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80% corresponde al medicamento A, el 10% al I, y el resto al M. El porcentaje de caducados es 10% en A, 20% en I y 5% en M. Se elige una caja al azar. a) Probabilidad de coger un medicamento caducado. b) Si se sabe que está caducado, ¿probabilidad de ser tipo A?

En una ciudad se han elegido al azar 3.900 personas. Hallar: a) La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón. b) La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté entre 5 y 15, ambos incluidos.