Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$:
$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 2 \end{cases}$$
Resuelve el sistema en los casos $\alpha = 1$ y $\alpha = 2$.

Calcula el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $\alpha$, siendo
$$A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & \alpha & 0 \\ 3 & \alpha & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Sea $r$ la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:
$$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 2y + z = 2 \end{cases}$$
a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta $r$.
b) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y pasa por el punto $P(2,1,0)$, que es exterior a $r$.

Sean $r$ la recta cuya ecuación continua es $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$, y los planos $\pi_1 \equiv x+y+z=1$ y $\pi_2 \equiv x+y-z=1$. Sean $P_1 = r\cap\pi_1$ y $P_2 = r\cap\pi_2$. Calcula:
a) las coordenadas de $P_1$ y $P_2$;
b) la distancia entre $P_1$ y $P_2$;
c) la distancia del punto $P_1$ al plano $\pi_2$.

Sea $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2$. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$.

La función $f(x)=Ax^2+Bx+C$ es creciente en $(-\infty,1)$ y decreciente en $(1,\infty)$. Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x=2$ es perpendicular a la recta $y=x+2$, y $f(0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$. Calcula los valores de $A, B$ y $C$.

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado inferiormente por la curva $y=\dfrac{x^2}{4}$ y superiormente por las curvas $y=\dfrac{4}{x^2}$ e $y=4$. Calcula el área de ese recinto.

Calcula las siguientes integrales:
$$\int \frac{x^2+4}{(x+2)^2}\,dx,\qquad \int (x+2)\sin(3x)\,dx.$$

La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el $2\%$ y en el nocturno el $10\%$. Si se toma una pieza al azar de un turno al azar:
a) calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa;
b) si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.

Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media $\mu=65$ puntos y desviación típica $\sigma=18$ puntos. El $15\%$ del alumnado está en el nivel avanzado, el $65\%$ en el nivel medio y el $20\%$ restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos que han obtenido las notas: a) $85{,}5$ puntos; b) $48$ puntos.