Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2023

Encontrar la matriz $X$ que verifica $(A - 3I)\cdot X = 2I$, donde $$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3. (2 puntos)

Determinar todos los numeros $x\in\mathbb{R}$ para los que el determinante $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix}$$ es mayor o igual que cero. (2 puntos)

Estudiar la posicion relativa de los siguientes planos en función del parametro $b$: $$\begin{cases} x+2y-z = 2 \\ x+(1+b)y-bz = 2b \\ x+by+(1+b)z = 1 \end{cases}$$. (2 puntos)

Hallar un vector de modulo 5 que sea ortogonal a los vectores $\vec{u}=(1,2,0)$ y $\vec{v}=(-1,0,1)$. (2 puntos)

a) Comprobar que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuacion $x\cdot \cos(2x) = x^2 - 1$. (1.5 puntos) b) Aproximar la solución positiva encontrada con un error menor que una decima. (0.5 puntos)

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases}$$ cumpla las hipotesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0,4]$. (2 puntos)

Calcular la integral $\displaystyle\int \dfrac{17 - x}{x^2 + x - 6}\,dx$. (2 puntos)

Hallar el area encerrada por la grafica de la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas. (2 puntos)

Al 80% de los alumnos de una clase les gusta el futbol; al 40% les gusta el balonmano y al 30% les gustan ambos deportes. Si se elige un alumno al azar: a) ¿Cual es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)? (0.5 pts) b) ¿Cual es la probabilidad de que le guste solo el futbol? (0.75 pts) c) Si sabemos que no le gusta el futbol, ¿cual es la probabilidad de que le guste el balonmano? (0.75 pts)

Durante el dia de hoy una persona va a escribir 15 mensajes en Facebook. Cada mensaje que escribe tiene errores ortograficos con una probabilidad de 0.3. Calcular: a) La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortograficos. (0.75 pts) b) La probabilidad de que escriba 4 o mas mensajes con errores. (0.75 pts) c) La media y la desviacion tipica de la distribucion. (0.5 pts)