¿Qué entra en el bloque de funciones y derivadas aplicadas en selectividad CCSS?

Entran: estudio de funciones (dominio, continuidad, asíntotas, función a trozos con parámetro, representación gráfica), reglas de derivación (suma, producto, cociente, cadena), tabla de derivadas elementales (polinomios, exponenciales, logarítmicas), recta tangente, monotonía y extremos, y aplicaciones económicas (**coste marginal**, **ingreso marginal**, **beneficio marginal**, **máximo de beneficio**, **mínimo de coste**, **coste medio**). NO entran trigonométricas avanzadas, derivación implícita, ni teoremas como Bolzano/Rolle/Lagrange — eso es Matemáticas II.

¿Qué diferencia hay entre las derivadas de Mat CCSS y las de Mat II?

En **Mat II** las derivadas se trabajan en abstracto, con énfasis en demostración (teoremas de Rolle, Lagrange, valor medio), derivación implícita, derivación logarítmica avanzada y funciones trigonométricas complejas. En **Mat CCSS** las derivadas se contextualizan en **problemas económicos y sociales**: coste marginal, ingreso marginal, beneficio máximo, demanda elástica. Los métodos de derivación son más sencillos (no entran \sin x, \cos x salvo casos triviales) pero se exige **interpretación económica** del resultado en euros, unidades o precios.

¿Qué es el coste marginal y cómo se calcula?

El **coste marginal** CM(x) es el coste de producir una unidad adicional cuando ya se han producido x unidades. Se define como la **derivada de la función de coste total**: CM(x) = C'(x). Por ejemplo, si C(x) = x^2 + 10x + 50 (coste total en euros para x unidades), entonces CM(x) = 2x + 10 y CM(100) = 210 significa que producir la unidad 101 cuesta aproximadamente 210 euros adicionales. De forma análoga se definen el **ingreso marginal** IM(x) = I'(x) y el **beneficio marginal** BM(x) = B'(x).

¿Cómo se halla el máximo de un beneficio?

Pasos: 1) **plantea la función de beneficio** B(x) = I(x) - C(x) (ingreso menos coste). 2) **Deriva e iguala a cero**: B'(x) = 0, que equivale a IM(x) = CM(x) (ingreso marginal = coste marginal). 3) **Resuelve** y comprueba que x está en el **dominio físico** del problema (cantidad positiva). 4) **Verifica con la 2ª derivada** que es máximo: B''(x) < 0. 5) **Interpreta**: "el beneficio máximo se alcanza produciendo x_0 unidades y vale B(x_0) euros". El paso 5 es obligatorio en la corrección PAU.

¿Qué es una función a trozos y cómo se estudia su continuidad?

Una **función a trozos** es una función definida por distintas expresiones en distintos intervalos de su dominio. Aparece en CCSS para modelar tarifas escalonadas (electricidad, agua, IRPF), donde el precio cambia según el consumo. Para estudiar la continuidad solo importan los **puntos de cambio** de definición: calcula los dos límites laterales usando la rama que corresponde a cada lado y compáralos con f(x_0). Si los tres coinciden, es continua. Si hay parámetro, plantea la ecuación \lim^- = \lim^+ = f(x_0) y despeja.

¿Qué tipos de asíntotas hay y cómo se interpretan en contexto económico?

Tres tipos: **verticales** (en puntos fuera del dominio donde \lim f = \pm\infty — ejemplo: un coste que se dispara al acercarse a cierta cantidad límite), **horizontales** (cuando \lim_{x \to \infty} f(x) = k — un coste o ingreso que tiende a un valor tope al producir mucho), y **oblicuas** (cuando no hay horizontal y f crece linealmente en infinito — un coste que crece de forma proporcional a la producción). En CCSS las asíntotas tienen siempre interpretación económica: NO basta con calcularlas, hay que decir qué significan.

¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU CCSS?

Entre 2,5 y 3,5 puntos sobre 10 según comunidad (25-35% del examen), distribuidos típicamente en dos preguntas: una de estudio de función o continuidad y otra de aplicación económica (optimización o marginalidad). Es el bloque más grande de Mat CCSS junto con probabilidad y estadística — dominarlo es decisivo para sacar nota alta.

Funciones y derivadas aplicadas

Q: ¿Qué es una función a trozos y cómo se estudia su continuidad?

Una **función a trozos** es una función definida por distintas expresiones en distintos intervalos de su dominio. Aparece en CCSS para modelar tarifas escalonadas (electricidad, agua, IRPF), donde el precio cambia según el consumo. Para estudiar la continuidad solo importan los **puntos de cambio** de definición: calcula los dos límites laterales usando la rama que corresponde a cada lado y compáralos con f(x_0). Si los tres coinciden, es continua. Si hay parámetro, plantea la ecuación \lim^- = \lim^+ = f(x_0) y despeja.

Q: ¿Qué tipos de asíntotas hay y cómo se interpretan en contexto económico?

Tres tipos: **verticales** (en puntos fuera del dominio donde \lim f = \pm\infty — ejemplo: un coste que se dispara al acercarse a cierta cantidad límite), **horizontales** (cuando \lim_{x \to \infty} f(x) = k — un coste o ingreso que tiende a un valor tope al producir mucho), y **oblicuas** (cuando no hay horizontal y f crece linealmente en infinito — un coste que crece de forma proporcional a la producción). En CCSS las asíntotas tienen siempre interpretación económica: NO basta con calcularlas, hay que decir qué significan.

Q: ¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU CCSS?

Entre 2,5 y 3,5 puntos sobre 10 según comunidad (25-35% del examen), distribuidos típicamente en dos preguntas: una de estudio de función o continuidad y otra de aplicación económica (optimización o marginalidad). Es el bloque más grande de Mat CCSS junto con probabilidad y estadística — dominarlo es decisivo para sacar nota alta.

663 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

Clave📚 329 mixtos (resto monotemáticos)

¿Qué entra en funciones y derivadas aplicadas?

Estudio de funciones, derivadas aplicadas a problemas económicos y sociales (máximos, mínimos, marginalidad). Pregunta habitual en la PAU de Matemáticas Aplicadas. A diferencia de Matemáticas II, aquí las funciones se contextualizan en situaciones reales: costes, beneficios, demanda, utilidad. Se pide derivar funciones polinómicas, racionales y exponenciales para hallar máximos de beneficio, mínimos de coste o puntos de inflexión que indican cambios de tendencia. El corrector valora que se interprete económicamente cada resultado, no solo que se calcule. Por ejemplo, el coste marginal es la derivada del coste total y representa cuánto cuesta producir una unidad adicional. Un error frecuente es olvidar restringir el dominio a valores positivos cuando las variables son cantidades o precios. Este bloque conecta con integrales (para recuperar la función original a partir de la marginal) y con programación lineal (optimización con restricciones).

Funciones y derivadas aplicadas en selectividad PAU 2027: guía completa

1-2 preguntas por examen · 2,5–3,5 puntos · ~25-35% de la nota · ~383 problemas PAU en DB

El bloque de funciones y derivadas aplicadas es el de mayor presencia en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (Mat CCSS) — pregunta fija en TODAS las comunidades autónomas, con un peso conjunto que suele situarse entre 2,5 y 3,5 puntos sobre 10. Reúne unos 383 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy, lo que lo convierte en el bloque más cargado del examen junto con probabilidad y estadística. La estructura típica de la pregunta combina estudio de una función (dominio, asíntotas, continuidad, función a trozos) con una aplicación económica de la derivada (coste marginal, ingreso marginal, máximo de beneficio, optimización de producción).

A diferencia de Matemáticas II, donde las derivadas se trabajan en abstracto, en Mat CCSS las funciones se contextualizan en situaciones reales: costes de producción, ingresos por ventas, beneficios empresariales, funciones de demanda y oferta, utilidad del consumidor. El corrector valora especialmente la interpretación económica del resultado: no basta con calcular un máximo, hay que decir "el beneficio máximo se alcanza produciendo

x_0

unidades y vale

f(x_0)

euros". Los conceptos clave son coste marginal (

CM(x) = C'(x)

), ingreso marginal (

IM(x) = I'(x)

) y beneficio marginal (

BM(x) = B'(x)

), que representan el coste/ingreso/beneficio de producir una unidad adicional. Este bloque conecta con integrales aplicadas (recuperar la función total a partir de la marginal) y, en menor medida, con programación lineal (optimización con restricciones).

En esta guía encontrarás la estructura completa del bloque: el orden recomendado para estudiarlo, las fórmulas imprescindibles, una tarjeta-resumen de cada subtema con su URL específica, las diferencias por comunidad autónoma y respuestas a las preguntas más frecuentes. Cada subtema enlaza con su página propia donde encontrarás ejercicios PAU reales resueltos paso a paso con interpretación económica, trucos del corrector y errores frecuentes. El subtema más cargado es derivadas aplicadas, pero la parte de funciones a trozos con parámetro y asíntotas es la que más se penaliza por errores de planteamiento.

¿En qué orden estudiar funciones y derivadas aplicadas?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Tipos de funciones en contexto económico
Empieza por reconocer las funciones típicas de CCSS: polinómicas (coste cuadrático), racionales (coste medio $\bar{C}(x) = C(x)/x$ ), exponenciales (decaimiento de demanda, interés compuesto continuo) y logarítmicas (utilidad). Sin reconocer el tipo, no se elige bien el método.
2
Dominio, continuidad y asíntotas
Calcula dominio (en contexto económico: $x \geq 0$ casi siempre, porque las cantidades son no negativas), estudia continuidad sobre todo en funciones a trozos con parámetro (típico de tarifas escalonadas) y halla asíntotas verticales/horizontales/oblicuas. Las asíntotas tienen interpretación económica: una AH es un coste tope al producir mucho.
3
Reglas básicas de derivación
Memoriza la tabla de derivadas elementales (polinomios, exponenciales $e^x$ y $a^x$ , logarítmicas $\ln x$ , $\log_a x$ ) y las reglas de suma, producto, cociente y cadena. En Mat CCSS NO entran trigonométricas complejas (sen/cos/tg salvo polinomios simples) ni derivación implícita avanzada.
4
Aplicaciones geométricas: recta tangente y monotonía
Recta tangente $y - f(a) = f'(a)(x-a)$ — útil para calcular la elasticidad o la tasa instantánea de cambio. Monotonía con $f' > 0$ o $f' < 0$ : identifica si una función económica crece o decrece. Extremos relativos: candidatos a máximo de beneficio o mínimo de coste.
5
Funciones marginales (coste, ingreso, beneficio)
El núcleo económico del bloque. Coste marginal $CM(x) = C'(x)$ = coste de producir una unidad adicional. Ingreso marginal $IM(x) = I'(x)$ . Beneficio marginal $BM(x) = B'(x) = IM(x) - CM(x)$ . La condición de máximo beneficio es $IM = CM$ (ingreso marginal = coste marginal).
6
Optimización aplicada (problemas verbales)
Plantea la función objetivo a partir del enunciado (beneficio, coste, ingreso), expresa con UNA sola variable usando la restricción, deriva, iguala a cero, comprueba con $f''$ que es máximo o mínimo, e interpreta el resultado en contexto (unidades, euros, precios). Pregunta clásica en todas las CCAAs.

Los 2 subtemas de funciones y derivadas aplicadas en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Funciones aplicadas

264 problemas

Estudio de funciones en contexto económico: dominio, continuidad, asíntotas, límites y representación gráfica. **Funciones a trozos con parámetro** (típico de tarifas escalonadas) y reconocimiento de tipos (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas). Subtema base — sin esto no se puede aplicar la derivada.

\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}

(coste medio)

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Derivadas aplicadas

294 problemas

Cálculo de derivadas (suma, producto, cociente, cadena) y aplicaciones económicas: recta tangente, monotonía, **funciones marginales** (coste, ingreso, beneficio marginal), optimización de beneficio máximo y coste mínimo. El subtema más cargado del bloque y el más rentable de la nota PAU CCSS.

BM(x) = IM(x) - CM(x) = 0 \Rightarrow

candidato a beneficio máximo

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Fórmulas clave de funciones y derivadas aplicadas 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Definición de derivada

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Reglas del producto y del cociente

(f \cdot g)' = f'g + fg' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Coste, ingreso y beneficio marginal

CM(x) = C'(x) \qquad IM(x) = I'(x) \qquad BM(x) = B'(x) = IM(x) - CM(x)

Condición de beneficio máximo

B'(x) = 0 \iff IM(x) = CM(x) \quad \text{(ingreso marginal = coste marginal)}

Recta tangente en

x = a

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

Criterio de la 2ª derivada para extremos

f'(a) = 0,\ f''(a) > 0 \Rightarrow \min;\quad f'(a) = 0,\ f''(a) < 0 \Rightarrow \max

¿Cómo evalúa cada CCAA funciones y derivadas aplicadas? 🌍

Diferencias clave por CCAA: en Andalucía, Madrid y Castilla-La Mancha el problema típico es de optimización económica (máximo beneficio, mínimo coste) con planteamiento verbal largo y exigen interpretación final en euros/unidades. En Cataluña el estudio de función completo con función a trozos con parámetro (tarifas eléctricas, escalas de IRPF) es prácticamente fijo. En Galicia y C. Valenciana se piden con frecuencia funciones marginales explícitas: "calcula el coste marginal de producir la unidad 100" o "interpreta el ingreso marginal cuando

x = 50

". En País Vasco abundan los problemas con funciones racionales del tipo coste medio

\bar{C}(x) = C(x)/x

y la búsqueda del mínimo de coste medio (donde

CM = \bar{C}

). En Aragón y Murcia prefieren funciones polinómicas y racionales sencillas con interpretación geométrica (recta tangente, monotonía). El concepto de elasticidad es opcional y solo aparece en convocatorias avanzadas de algunas comunidades. Para comparación detallada consulta el blog Diferencias selectividad Matemáticas CCSS por CCAA.

Preguntas frecuentes sobre funciones y derivadas aplicadas en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de funciones y derivadas aplicadas en selectividad CCSS?: Entran: estudio de funciones (dominio, continuidad, asíntotas, función a trozos con parámetro, representación gráfica), reglas de derivación (suma, producto, cociente, cadena), tabla de derivadas elementales (polinomios, exponenciales, logarítmicas), recta tangente, monotonía y extremos, y aplicaciones económicas (coste marginal, ingreso marginal, beneficio marginal, máximo de beneficio, mínimo de coste, coste medio). NO entran trigonométricas avanzadas, derivación implícita, ni teoremas como Bolzano/Rolle/Lagrange — eso es Matemáticas II.
¿Qué diferencia hay entre las derivadas de Mat CCSS y las de Mat II?: En Mat II las derivadas se trabajan en abstracto, con énfasis en demostración (teoremas de Rolle, Lagrange, valor medio), derivación implícita, derivación logarítmica avanzada y funciones trigonométricas complejas. En Mat CCSS las derivadas se contextualizan en problemas económicos y sociales: coste marginal, ingreso marginal, beneficio máximo, demanda elástica. Los métodos de derivación son más sencillos (no entran $\sin x$ , $\cos x$ salvo casos triviales) pero se exige interpretación económica del resultado en euros, unidades o precios.
¿Qué es el coste marginal y cómo se calcula?: El coste marginal $CM(x)$ es el coste de producir una unidad adicional cuando ya se han producido $x$ unidades. Se define como la derivada de la función de coste total: $CM(x) = C'(x)$ . Por ejemplo, si $C(x) = x^2 + 10x + 50$ (coste total en euros para $x$ unidades), entonces $CM(x) = 2x + 10$ y $CM(100) = 210$ significa que producir la unidad 101 cuesta aproximadamente 210 euros adicionales. De forma análoga se definen el ingreso marginal $IM(x) = I'(x)$ y el beneficio marginal $BM(x) = B'(x)$ .
¿Cómo se halla el máximo de un beneficio?: Pasos: 1) plantea la función de beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$ (ingreso menos coste). 2) Deriva e iguala a cero: $B'(x) = 0$ , que equivale a $IM(x) = CM(x)$ (ingreso marginal = coste marginal). 3) Resuelve y comprueba que $x$ está en el dominio físico del problema (cantidad positiva). 4) Verifica con la 2ª derivada que es máximo: $B''(x) < 0$ . 5) Interpreta: "el beneficio máximo se alcanza produciendo $x_0$ unidades y vale $B(x_0)$ euros". El paso 5 es obligatorio en la corrección PAU.
¿Qué es una función a trozos y cómo se estudia su continuidad?: Una función a trozos es una función definida por distintas expresiones en distintos intervalos de su dominio. Aparece en CCSS para modelar tarifas escalonadas (electricidad, agua, IRPF), donde el precio cambia según el consumo. Para estudiar la continuidad solo importan los puntos de cambio de definición: calcula los dos límites laterales usando la rama que corresponde a cada lado y compáralos con $f(x_0)$ . Si los tres coinciden, es continua. Si hay parámetro, plantea la ecuación $\lim^- = \lim^+ = f(x_0)$ y despeja.
¿Qué tipos de asíntotas hay y cómo se interpretan en contexto económico?: Tres tipos: verticales (en puntos fuera del dominio donde $\lim f = \pm\infty$ — ejemplo: un coste que se dispara al acercarse a cierta cantidad límite), horizontales (cuando $\lim_{x \to \infty} f(x) = k$ — un coste o ingreso que tiende a un valor tope al producir mucho), y oblicuas (cuando no hay horizontal y $f$ crece linealmente en infinito — un coste que crece de forma proporcional a la producción). En CCSS las asíntotas tienen siempre interpretación económica: NO basta con calcularlas, hay que decir qué significan.
¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU CCSS?: Entre 2,5 y 3,5 puntos sobre 10 según comunidad (25-35% del examen), distribuidos típicamente en dos preguntas: una de estudio de función o continuidad y otra de aplicación económica (optimización o marginalidad). Es el bloque más grande de Mat CCSS junto con probabilidad y estadística — dominarlo es decisivo para sacar nota alta.

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Exámenes oficiales PAU de funciones y derivadas aplicadas resueltos paso a paso 📝

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Castilla y León·Extraordinaria 2025·Pregunta 2

Análisis

Depósito de gasolina: cantidad almacenada inicial y a los 108 minutos

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