¿Cómo se plantea un sistema de ecuaciones a partir de un problema verbal?

Sigue tres pasos: (1) **Define las incógnitas con una frase explícita** — por ejemplo "x = kg del producto A, y = kg del producto B, z = kg del producto C". (2) **Traduce cada dato del enunciado a una ecuación**: el dato de cantidad total da una ecuación (suma), el dato de precio total da otra (suma ponderada), las condiciones extra ("se vendió el doble de B que de A") dan ecuaciones de proporción. (3) **Reúne las ecuaciones en un sistema** AX = B y resuélvelo. El corrector valora especialmente la definición clara de incógnitas y la justificación de cada ecuación.

¿Cuándo conviene usar Gauss y cuándo Cramer en CCSS?

Usa **Cramer** cuando el sistema es cuadrado (n ecuaciones, n incógnitas), \det(A) \neq 0 y el determinante es fácil de calcular: es muy rápido y permite hallar una sola incógnita sin tocar las demás. Usa **Gauss** cuando el sistema no sea cuadrado, cuando \det(A) = 0 (Cramer no aplica), cuando los coeficientes sean complicados, o cuando quieras resolver TODAS las incógnitas: es más mecánico y comete menos errores de signo. La **sustitución** funciona bien en sistemas 2 \times 2 sencillos pero se complica en 3 \times 3. Cualquiera de los tres métodos es aceptado por el corrector siempre que sea aplicable.

¿Cuándo se aplica la matriz inversa para resolver un sistema?

Cuando el sistema AX = B es **cuadrado** (misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas) y la matriz de coeficientes A tiene **determinante no nulo** (\det(A) \neq 0). En ese caso se puede despejar X = A^{-1} \cdot B premultiplicando ambos lados por A^{-1}. Es útil sobre todo cuando ya has calculado A^{-1} en un apartado anterior, o cuando hay que resolver el sistema para varios vectores B distintos. Si solo es un B, Cramer suele ser más rápido. Si \det(A) = 0 la inversa no existe y hay que cambiar a Gauss.

¿Qué hago si el determinante del sistema es cero?

Si \det(A) = 0, la matriz A no tiene inversa y la regla de Cramer no se puede aplicar. Cambia al **método de Gauss**: escalona la matriz ampliada (A|B) por filas y observa el resultado. Si aparece una fila (0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ 0) el sistema es **compatible indeterminado** (infinitas soluciones, parametriza con t \in \mathbb{R}). Si aparece una fila (0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ k) con k \neq 0, es **incompatible** (no hay solución). En PAU CCSS los casos con \det(A) = 0 son menos frecuentes que en Mat II — la mayoría de sistemas verbales dan determinante no nulo.

Matrices y sistemas de ecuaciones

325 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

Clave📚 82 mixtos (resto monotemáticos)

¿Qué entra en matrices y sistemas de ecuaciones?

Operaciones con matrices, inversas, sistemas de ecuaciones aplicados a contextos económicos y empresariales. Pregunta de álgebra en la selectividad CCSS. Los problemas de la PAU plantean situaciones como mezclas de productos, producción de fábricas o reparto de recursos que se modelizan con sistemas de ecuaciones lineales y se resuelven con matrices. Se pide operar matrices (suma, producto), calcular inversas y resolver sistemas por Gauss o Cramer. El corrector valora que el planteamiento del sistema esté bien justificado a partir del enunciado y que la resolución sea ordenada. Un error frecuente es confundir filas con columnas al plantear la ecuación matricial. A diferencia de Matemáticas II, aquí no se suele pedir la discusión con parámetros, sino la resolución directa de sistemas numéricos. Este bloque es independiente del de estadística y probabilidad, lo que permite diversificar la preparación del examen.

Matrices y sistemas de ecuaciones en selectividad PAU 2027: guía completa

1 pregunta por examen · 2,0–2,5 puntos · ~20-25% de la nota · ~291 problemas históricos

El bloque de matrices y sistemas de ecuaciones es una de las preguntas fijas de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales: aparece en TODAS las comunidades autónomas, normalmente como ejercicio completo de 2,5 puntos sobre 10. Reúne aproximadamente 291 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy, lo que lo convierte —junto con probabilidad y programación lineal— en uno de los bloques más rentables del examen. La estructura típica de la pregunta NO es teórica: el enunciado presenta un problema verbal en contexto real (mezclas de productos a distintos precios, producción de una fábrica con tres tipos de artículo, reparto de material en una oficina, edades de una familia, ventas de tres cereales por agricultores) y pide modelizarlo como sistema de ecuaciones lineales y resolverlo.

Este bloque se apoya en operaciones con matrices (suma, producto, transpuesta, inversa, determinantes) pero el peso real está en el planteamiento: traducir cada frase del enunciado en una ecuación lineal con tantas incógnitas como variables intervienen (típicamente 2 o 3). El corrector valora especialmente la definición clara de las incógnitas (por ejemplo "

x

= kg del producto A,

y

= kg del producto B,

z

= kg del producto C") y la justificación de cada ecuación a partir del enunciado. El error que más penaliza es plantear mal el sistema: una incógnita confundida o una ecuación con el signo cambiado invalida toda la resolución posterior y suele costar entre el 50% y el 70% del apartado. A diferencia de Matemáticas II, NO suele pedirse discusión compleja con parámetros mediante Rouché-Frobenius: los sistemas son numéricos concretos y se resuelven con Gauss, Cramer o sustitución.

En esta guía encontrarás la estructura completa del bloque: el orden recomendado para estudiarlo, las fórmulas imprescindibles, una tarjeta-resumen de cada subtema con su URL específica para profundizar, las diferencias por comunidad autónoma, y respuestas a las preguntas más frecuentes. Cada subtema enlaza con su página propia donde encontrarás ejercicios PAU reales resueltos paso a paso, trucos del corrector y errores frecuentes específicos de Matemáticas CCSS.

¿En qué orden estudiar matrices y sistemas de ecuaciones?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Operaciones básicas con matrices
Empieza con suma, producto, transposición y dimensiones compatibles. El producto no es conmutativo: $AB \neq BA$ en general. Domina el orden y las dimensiones $(m \times n)(n \times p) = (m \times p)$ antes de seguir.
2
Determinante y matriz inversa
Determinante $2 \times 2$ ( $ad - bc$ ) y $3 \times 3$ (Sarrus o adjuntos). La inversa $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{adj}\,A)^T$ existe solo si $\det(A) \neq 0$ . Es la herramienta para resolver $AX = B$ por inversa.
3
Ecuación matricial $AX = B$
Despeje $X = A^{-1}B$ premultiplicando. Atención al orden — el producto no conmuta. En CCSS se usa sobre todo en sistemas $2 \times 2$ y $3 \times 3$ cuadrados con determinante no nulo.
4
Planteamiento de problemas verbales
El paso decisivo del bloque en CCSS: define las incógnitas con frase explícita (" $x$ = nº de productos tipo A...") y traduce cada frase a una ecuación. Mezclas, producción, edades, reparto, ventas — siempre 1 ecuación por dato.
5
Resolución del sistema (Gauss, Cramer, sustitución)
Métodos válidos: Gauss (eliminación por filas en la matriz ampliada, el más mecánico), Cramer ( $x_i = \det(A_i)/\det(A)$ , rápido si los determinantes son fáciles), sustitución (útil en $2 \times 2$ ). En PAU CCSS se acepta cualquiera, pero Gauss y Cramer dan mejor presentación.
6
Verificación e interpretación del resultado
Sustituye la solución en el sistema original para comprobarla. Interpreta el resultado en contexto ("se mezclaron 20 kg de A, 30 kg de B y 50 kg de C"). El corrector valora la frase final que devuelve al problema verbal.

Los 2 subtemas de matrices y sistemas de ecuaciones en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Matrices (operaciones e inversa)

137 problemas

Operaciones con matrices (suma, producto, transpuesta), determinantes $2 \times 2$ y $3 \times 3$, cálculo de la matriz inversa por adjuntos o Gauss-Jordan, y resolución de ecuaciones matriciales $AX = B$ por despeje con la inversa. Base operativa del bloque.

X = A^{-1}B

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Sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución)

148 problemas

Planteamiento de sistemas a partir de problemas verbales (mezclas, producción, edades, reparto, ventas) y resolución por Gauss, Cramer o sustitución. El subtema más representativo del bloque en PAU CCSS — el corrector valora sobre todo el planteamiento.

x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}

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Fórmulas clave de matrices y sistemas de ecuaciones 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Producto de matrices (no conmutativo)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj} \qquad AB \neq BA \text{ en general}

Determinante

2 \times 2

\det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc

Matriz inversa por adjuntos

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}\,A)^T \qquad \text{con } \det(A) \neq 0

Ecuación matricial

AX = B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B

Regla de Cramer

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad \text{donde } A_i = A \text{ con la columna } i \text{ sustituida por } B

Forma matricial de un sistema

\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} \Leftrightarrow AX = B

¿Cómo evalúa cada CCAA matrices y sistemas de ecuaciones? 🌍

Diferencias clave por CCAA: en Madrid, Andalucía, País Vasco y Cantabria los problemas verbales son MUY frecuentes — el enunciado describe situaciones reales (mezclas de productos a distintos precios, producción de una fábrica con tres tipos de artículo, edades de una familia, reparto de material) y exige plantear el sistema desde cero. En Cataluña suele incluirse una matriz con un parámetro que hay que discutir según los valores donde el determinante se anula, aunque la discusión es más sencilla que en Mat II (sin Rouché-Frobenius completo). En Galicia y C. Valenciana se ven con frecuencia ejercicios mixtos: operaciones matriciales en el primer apartado y un sistema

3 \times 3

verbal en el segundo. En Murcia, Aragón y Castilla y León el énfasis está en la resolución por Gauss explícito (todas las operaciones por filas anotadas). En Asturias, Canarias, Castilla-La Mancha, Baleares, Navarra, La Rioja y Extremadura es pregunta habitual con estructura clásica de planteo + resolución, sin parámetros complejos. Para una comparación detallada de cómo evalúa cada comunidad este bloque, consulta nuestro artículo del blog Diferencias selectividad Matemáticas CCSS por CCAA.

Preguntas frecuentes sobre matrices y sistemas de ecuaciones en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de matrices y sistemas de ecuaciones en Matemáticas CCSS?: Entran operaciones con matrices (suma, producto, transpuesta), cálculo del determinante ( $2 \times 2$ y $3 \times 3$ ), matriz inversa por adjuntos o Gauss-Jordan, resolución de ecuaciones matriciales $AX = B$ , planteamiento de sistemas a partir de problemas verbales (mezclas, producción, edades, reparto, ventas) y resolución por Gauss, Cramer o sustitución. Es 1 pregunta de 2,5 puntos sobre 10 en casi todas las CCAAs. A diferencia de Matemáticas II, NO suele pedirse discusión compleja con parámetros mediante Rouché-Frobenius.
¿Cómo se plantea un sistema de ecuaciones a partir de un problema verbal?: Sigue tres pasos: (1) Define las incógnitas con una frase explícita — por ejemplo " $x$ = kg del producto A, $y$ = kg del producto B, $z$ = kg del producto C". (2) Traduce cada dato del enunciado a una ecuación: el dato de cantidad total da una ecuación (suma), el dato de precio total da otra (suma ponderada), las condiciones extra ("se vendió el doble de B que de A") dan ecuaciones de proporción. (3) Reúne las ecuaciones en un sistema $AX = B$ y resuélvelo. El corrector valora especialmente la definición clara de incógnitas y la justificación de cada ecuación.
¿Cuándo conviene usar Gauss y cuándo Cramer en CCSS?: Usa Cramer cuando el sistema es cuadrado ( $n$ ecuaciones, $n$ incógnitas), $\det(A) \neq 0$ y el determinante es fácil de calcular: es muy rápido y permite hallar una sola incógnita sin tocar las demás. Usa Gauss cuando el sistema no sea cuadrado, cuando $\det(A) = 0$ (Cramer no aplica), cuando los coeficientes sean complicados, o cuando quieras resolver TODAS las incógnitas: es más mecánico y comete menos errores de signo. La sustitución funciona bien en sistemas $2 \times 2$ sencillos pero se complica en $3 \times 3$ . Cualquiera de los tres métodos es aceptado por el corrector siempre que sea aplicable.
¿Cuándo se aplica la matriz inversa para resolver un sistema?: Cuando el sistema $AX = B$ es cuadrado (misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas) y la matriz de coeficientes $A$ tiene determinante no nulo ( $\det(A) \neq 0$ ). En ese caso se puede despejar $X = A^{-1} \cdot B$ premultiplicando ambos lados por $A^{-1}$ . Es útil sobre todo cuando ya has calculado $A^{-1}$ en un apartado anterior, o cuando hay que resolver el sistema para varios vectores $B$ distintos. Si solo es un $B$ , Cramer suele ser más rápido. Si $\det(A) = 0$ la inversa no existe y hay que cambiar a Gauss.
¿Qué hago si el determinante del sistema es cero?: Si $\det(A) = 0$ , la matriz $A$ no tiene inversa y la regla de Cramer no se puede aplicar. Cambia al método de Gauss: escalona la matriz ampliada $(A|B)$ por filas y observa el resultado. Si aparece una fila $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ 0)$ el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, parametriza con $t \in \mathbb{R}$ ). Si aparece una fila $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ k)$ con $k \neq 0$ , es incompatible (no hay solución). En PAU CCSS los casos con $\det(A) = 0$ son menos frecuentes que en Mat II — la mayoría de sistemas verbales dan determinante no nulo.

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Te llevamos a un problema aleatorio. Resuélvelo y vuelve para otro. Mejor manera de prepararte.

Exámenes oficiales PAU de matrices y sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso 📝

325 de 325

Extremadura·Extraordinaria 2025·Pregunta 3

Álgebra (Matrices)

Matriz inversa, valores de parámetro y ecuación matricial

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & -5 & x \\ 0 & x & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -x \end{pmatrix}

Hallar los valores de

x

para los que no existe la matriz inversa de

A + C

Para

x = 3

, obtener la matriz

Y

que verifica la ecuación matricial

A \cdot Y = C - B \cdot Y