¿Qué es el coste marginal y cómo se calcula?

El **coste marginal** CM(x) es el coste aproximado de producir una unidad adicional cuando ya se han producido x unidades. Se define como la **derivada de la función de coste total**: CM(x) = C'(x). Por ejemplo, si C(x) = x^2 + 10x + 50 (coste total en euros para x unidades), entonces CM(x) = 2x + 10 y CM(100) = 210 significa que producir la unidad 101 cuesta aproximadamente 210 euros adicionales. De forma análoga, el ingreso marginal es IM(x) = I'(x) y el beneficio marginal es BM(x) = B'(x).

¿Cómo se halla el máximo de un beneficio en selectividad CCSS?

Pasos: 1) **plantea la función de beneficio** B(x) = I(x) - C(x); 2) **deriva e iguala a cero**: B'(x) = 0, equivalente a la condición IM(x) = CM(x) (ingreso marginal = coste marginal); 3) **resuelve** y comprueba que x está en el dominio físico (x \geq 0); 4) **verifica con la 2ª derivada** que es máximo: B''(x) < 0; 5) **interpreta**: "el beneficio máximo se alcanza produciendo x_0 unidades y vale B(x_0) euros". El paso 5 es obligatorio en la corrección PAU.

¿Cómo se calcula el mínimo de coste medio?

El **coste medio** es \bar{C}(x) = C(x)/x (coste por unidad). Para hallar su mínimo: 1) **deriva** usando la regla del cociente, 2) **iguala a cero** \bar{C}'(x) = 0, 3) **resuelve** para x en el dominio x > 0, 4) **verifica con la 2ª derivada**. Un resultado elegante de microeconomía: el mínimo de coste medio se alcanza exactamente donde CM(x) = \bar{C}(x) (coste marginal = coste medio) — esto te permite plantear la ecuación directamente sin derivar el cociente.

¿Cómo se aplica la regla de la cadena en derivadas CCSS?

Identifica la **función externa** y la **interna** en la composición. Deriva la externa evaluando en la interna, y multiplica por la derivada de la interna. Ejemplo típico en CCSS: f(x) = e^{0{,}1x} (crecimiento de demanda) tiene derivada f'(x) = e^{0{,}1x} \cdot 0{,}1. Otro ejemplo: \ln(5x + 100) tiene derivada \frac{5}{5x + 100}. **Error frecuente**: olvidar multiplicar por la derivada interna.

Derivadas aplicadas

Q: ¿Cómo se calcula el mínimo de coste medio?

El **coste medio** es \bar{C}(x) = C(x)/x (coste por unidad). Para hallar su mínimo: 1) **deriva** usando la regla del cociente, 2) **iguala a cero** \bar{C}'(x) = 0, 3) **resuelve** para x en el dominio x > 0, 4) **verifica con la 2ª derivada**. Un resultado elegante de microeconomía: el mínimo de coste medio se alcanza exactamente donde CM(x) = \bar{C}(x) (coste marginal = coste medio) — esto te permite plantear la ecuación directamente sin derivar el cociente.

294 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué son derivadas aplicadas en selectividad PAU?

Las derivadas aplicadas en Matemáticas CCSS son la herramienta central del análisis económico en selectividad. La derivada

f'(x)

mide la tasa instantánea de cambio de una función — y cuando esa función representa coste, ingreso o beneficio, su derivada se llama función marginal. Es el bloque más rentable de la PAU CCSS: aparece en TODAS las comunidades como pregunta de 1,5–2 puntos sobre 10 y combina cálculo mecánico (derivar) con interpretación económica (qué significa el número que sale).

Los tres conceptos imprescindibles son: coste marginal

CM(x) = C'(x)

(coste de producir una unidad adicional), ingreso marginal

IM(x) = I'(x)

(ingreso adicional por vender una unidad más) y beneficio marginal

BM(x) = B'(x) = IM(x) - CM(x)

. La condición de máximo beneficio es

BM(x) = 0

, es decir,

IM(x) = CM(x)

: el ingreso marginal iguala al coste marginal. Es uno de los resultados más importantes de la microeconomía elemental y la PAU lo exige tanto en cálculo como en interpretación. Otros conceptos típicos son el mínimo de coste medio (donde

\bar{C}'(x) = 0

, equivalente a

CM = \bar{C}

) y la recta tangente como aproximación lineal local de una función económica.

El corrector valora cuatro cosas en este subtema: (1) dominar las reglas de derivación (suma, producto, cociente, cadena), (2) plantear correctamente la función a optimizar a partir del enunciado verbal, (3) verificar que el punto crítico es máximo o mínimo con

f''

, y (4) interpretar el resultado en contexto dando unidades (euros, unidades producidas, precios). Errores frecuentes: confundir coste medio con coste marginal, olvidar la verificación con

f''

, o dar solo el

x

óptimo sin calcular el valor de la función ni dar las unidades.

Fórmulas de derivadas aplicadas en PAU 📋

Definición de derivada

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Definición formal. Casi nunca se exige aplicarla en PAU CCSS, pero puede aparecer como pregunta teórica corta. Interpretación:

f'(a)

es la pendiente de la recta tangente en

x = a

Coste marginal

CM(x) = C'(x)

Concepto NÚCLEO del bloque.

CM(x_0)

= coste aproximado de producir la unidad

x_0 + 1

cuando ya se han producido

x_0

. Aparece en todas las CCAAs.

Ingreso y beneficio marginal

IM(x) = I'(x) \qquad BM(x) = B'(x) = IM(x) - CM(x)

Análogos al coste marginal. La condición de máximo beneficio es

BM(x) = 0

, es decir,

IM(x) = CM(x)

— resultado fundamental de microeconomía.

Recta tangente en

x = a

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

Aproximación lineal local. En contexto económico permite estimar el valor de la función en puntos cercanos a

a

sin recalcular toda la fórmula.

Regla del producto y del cociente

(f \cdot g)' = f'g + fg' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Producto: dos factores con

x

(ej.

x \cdot e^{-x}

— demanda con decaimiento). Cociente: típico en coste medio

\bar{C}(x) = C(x)/x

. CUIDADO con el signo del numerador en el cociente.

Regla de la cadena

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Composiciones:

e^{2x}

\ln(3x+1)

(2x+5)^4

. Es la regla más usada en CCSS y la más penalizada cuando se aplica mal (olvidar multiplicar por la derivada interna).

Criterio de la 2ª derivada (extremos)

f'(a) = 0,\ f''(a) > 0 \Rightarrow \min;\quad f'(a) = 0,\ f''(a) < 0 \Rightarrow \max

Verificación OBLIGATORIA tras hallar puntos críticos. Sin esto se pierde hasta el 30% del apartado en optimización.

Cómo resolver derivadas aplicadas paso a paso 📐

1
Identifica qué se pide y qué tipo de función económica es
Lee el enunciado dos veces. ¿Piden coste marginal? ¿Ingreso marginal? ¿Máximo de beneficio? ¿Mínimo de coste medio? ¿Recta tangente? Identifica la función dada (coste $C$ , ingreso $I$ , beneficio $B$ , demanda $D$ ) y la magnitud a calcular (derivada, extremo, valor en un punto). Sin esta clasificación, el resto falla.
2
Calcula la derivada aplicando las reglas correctas
Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición. Aplica las reglas correspondientes. Para composiciones (cadena), identifica externa e interna. Para $f(x)^{g(x)}$ usa derivación logarítmica. Simplifica el resultado antes de seguir — el corrector penaliza expresiones obviamente reducibles.
3
Si piden marginal, deriva la función total
Coste marginal: $CM(x) = C'(x)$ . Ingreso marginal: $IM(x) = I'(x)$ . Beneficio marginal: $BM(x) = B'(x) = IM(x) - CM(x)$ . Si piden el marginal en un punto ( $x = 100$ ), sustituye después de derivar.
4
Si piden optimización, plantea y reduce a una variable
Para máximo beneficio: $B(x) = I(x) - C(x)$ , deriva, iguala a cero, resuelve. Para mínimo coste: $\bar{C}(x) = C(x)/x$ , deriva, iguala a cero. Para problemas verbales con restricción: usa la restricción para eliminar una variable y queda con $f(x)$ de una sola variable.
5
Verifica que el punto crítico es máximo o mínimo con $f''$
Calcula $f''(x_0)$ : si es positivo, es mínimo; si es negativo, máximo. Si $f''(x_0) = 0$ , usa tabla de signos de $f'$ . Esta verificación es obligatoria — el corrector resta puntos sin ella.
6
Interpreta el resultado en contexto económico con unidades
Da las unidades y la interpretación: "el beneficio máximo se alcanza produciendo 50 unidades y vale 1200 euros", "el coste marginal de la unidad 100 es 25 euros (cuesta 25 euros producir la unidad 101)". Sin interpretación final se pierde hasta 0,5 puntos en CCSS — no es opcional.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para derivadas aplicadas? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
En problemas de máximo beneficio, recuerda el resultado clave: $IM = CM$ (ingreso marginal = coste marginal). Esto te permite plantear directamente la ecuación sin construir $B(x)$ explícitamente.
✓
Para mínimo de coste medio, el punto óptimo está donde $CM(x) = \bar{C}(x)$ (coste marginal = coste medio). Es un atajo equivalente a derivar $\bar{C}(x)$ e igualar a cero.
✓
En rectas tangentes con interpretación económica, $f'(a)$ representa una "tasa": si $f$ es ingreso, $f'(a)$ es el ingreso adicional por unidad cerca de $x = a$ . Útil para problemas de aproximación.
✓
En funciones exponenciales del tipo $f(x) = x e^{-kx}$ (típicas en CCSS), la derivada es $f'(x) = e^{-kx}(1 - kx)$ — el cero está en $x = 1/k$ . Memoriza este patrón.
✓
Si la función es racional, antes de aplicar la regla del cociente comprueba si puedes simplificar primero (factorizar y cancelar). Ahorra cálculo y reduce errores.

Errores frecuentes al resolver derivadas aplicadas que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir coste medio $\bar{C}(x) = C(x)/x$ con coste marginal $CM(x) = C'(x)$ — son conceptos económicos DISTINTOS.
×
Olvidar verificar con $f''$ que el punto crítico es máximo o mínimo (penaliza hasta el 30% del apartado).
×
Dar solo el valor de $x$ óptimo sin calcular el valor de la función ( $f(x_0)$ ) ni dar las unidades en euros/unidades.
×
En la regla de la cadena, olvidar multiplicar por la derivada de la función interna (error más frecuente del subtema).
×
No restringir el dominio al contexto físico ( $x \geq 0$ ) y dar soluciones negativas que no tienen sentido económico.

Preguntas frecuentes sobre derivadas aplicadas en PAU 💬

¿Qué es el coste marginal y cómo se calcula?: El coste marginal $CM(x)$ es el coste aproximado de producir una unidad adicional cuando ya se han producido $x$ unidades. Se define como la derivada de la función de coste total: $CM(x) = C'(x)$ . Por ejemplo, si $C(x) = x^2 + 10x + 50$ (coste total en euros para $x$ unidades), entonces $CM(x) = 2x + 10$ y $CM(100) = 210$ significa que producir la unidad 101 cuesta aproximadamente 210 euros adicionales. De forma análoga, el ingreso marginal es $IM(x) = I'(x)$ y el beneficio marginal es $BM(x) = B'(x)$ .
¿Cómo se halla el máximo de un beneficio en selectividad CCSS?: Pasos: 1) plantea la función de beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$ ; 2) deriva e iguala a cero: $B'(x) = 0$ , equivalente a la condición $IM(x) = CM(x)$ (ingreso marginal = coste marginal); 3) resuelve y comprueba que $x$ está en el dominio físico ( $x \geq 0$ ); 4) verifica con la 2ª derivada que es máximo: $B''(x) < 0$ ; 5) interpreta: "el beneficio máximo se alcanza produciendo $x_0$ unidades y vale $B(x_0)$ euros". El paso 5 es obligatorio en la corrección PAU.
¿Cómo se calcula el mínimo de coste medio?: El coste medio es $\bar{C}(x) = C(x)/x$ (coste por unidad). Para hallar su mínimo: 1) deriva usando la regla del cociente, 2) iguala a cero $\bar{C}'(x) = 0$ , 3) resuelve para $x$ en el dominio $x > 0$ , 4) verifica con la 2ª derivada. Un resultado elegante de microeconomía: el mínimo de coste medio se alcanza exactamente donde $CM(x) = \bar{C}(x)$ (coste marginal = coste medio) — esto te permite plantear la ecuación directamente sin derivar el cociente.
¿Cómo se aplica la regla de la cadena en derivadas CCSS?: Identifica la función externa y la interna en la composición. Deriva la externa evaluando en la interna, y multiplica por la derivada de la interna. Ejemplo típico en CCSS: $f(x) = e^{0{,}1x}$ (crecimiento de demanda) tiene derivada $f'(x) = e^{0{,}1x} \cdot 0{,}1$ . Otro ejemplo: $\ln(5x + 100)$ tiene derivada $\frac{5}{5x + 100}$ . Error frecuente: olvidar multiplicar por la derivada interna.

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Crecimiento y decrecimiento de una función racional en (2,∞)

f(t)=\begin{cases} \dfrac{3}{4}t^{2} + 2 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\[4pt] \dfrac{15}{t+1} & \text{si } t > 2 \end{cases}

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