¿Qué entra en el bloque de programación lineal en selectividad CCSS?

Entra la resolución gráfica de problemas de optimización con dos variables: planteamiento de restricciones lineales desde un enunciado verbal, representación de la región factible (intersección de semiplanos), cálculo de los vértices del polígono, evaluación de la función objetivo en cada vértice y determinación del óptimo (máximo o mínimo). En Mat CCSS NO entra el método simplex ni la programación lineal con más de dos variables — eso es universidad.

¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?

En la mayoría de comunidades pesa entre 2,5 y 3 puntos sobre 10, lo que supone el 25-30% del examen. Es uno de los bloques de mayor peso de la asignatura junto con probabilidad y estadística inferencial. Por su carácter sistemático (mismo esquema en todos los problemas) tiene una alta relación esfuerzo/nota si se domina el procedimiento de seis pasos.

¿Por qué el óptimo está siempre en un vértice de la región factible?

Porque la función objetivo F(x,y) = c_1 x + c_2 y es **lineal** y sus curvas de nivel (F = k) son rectas paralelas. Al desplazar esa recta paralela sobre la región factible (un polígono convexo), el último punto que la recta toca antes de salir de la región es siempre un **vértice** del polígono. Por eso basta con evaluar F en los vértices: el mayor valor es el máximo y el menor el mínimo. Este resultado se conoce como **teorema fundamental de la programación lineal**.

¿Qué pasa si la región factible no es acotada?

Si la región es no acotada (se extiende al infinito en alguna dirección), puede ocurrir que el problema **no tenga solución finita**: si se trata de maximizar y la función objetivo crece indefinidamente dentro de la región, no hay máximo (la solución es +\infty); si se trata de minimizar y decrece sin tope, no hay mínimo. En estos casos se concluye que "el problema no admite óptimo finito". En PAU CCSS lo habitual es que la región sea acotada y haya solución, pero el comentario sobre acotación se valora.

¿Cómo planteo las restricciones cuando el enunciado solo da palabras?

Sigue cuatro pasos: (1) **Identifica las dos variables** (x = número de sillas, y = número de mesas, por ejemplo). (2) **Lee cada restricción del enunciado** ("se dispone de 60 horas de trabajo", "se necesitan al menos 10 sillas"). (3) **Traduce a inecuación**: si la frase dice "como mucho", "no más de", "se dispone de" → \leq; si dice "al menos", "como mínimo", "se necesita" → \geq. (4) **Añade siempre x \geq 0, y \geq 0** — son las restricciones de no negatividad obligatorias en problemas de cantidades reales.

Programación lineal

183 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

Clave📚 150 mixtos (resto monotemáticos)

¿Qué entra en programación lineal?

Programación lineal aplicada a optimización empresarial: planteamiento, región factible y resolución gráfica. Clásico de la selectividad CCSS en muchas comunidades autónomas. El enunciado describe un problema de producción, dieta o distribución que debe traducirse en restricciones lineales, representarse gráficamente para obtener la región factible y evaluarse en los vértices para optimizar la función objetivo. En la PAU se valora que las restricciones estén bien formuladas, que el grafo sea claro y preciso, y que se comprueben todos los vértices. Un error habitual es olvidar las restricciones de no negatividad (x ≥ 0, y ≥ 0) o calcular mal las intersecciones. El consejo más práctico es usar una regla y representar las rectas con precisión, marcando claramente la región factible con sombreado. Este bloque conecta con matrices y sistemas de ecuaciones, ya que hallar los vértices requiere resolver sistemas 2×2.

Programación lineal en selectividad PAU 2027: guía completa

1 pregunta por examen · 2,5–3,0 puntos · ~25-30% de la nota · 178 problemas históricos · método gráfico (NO simplex)

El bloque de programación lineal es uno de los más característicos de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales y aparece en la mayoría de las comunidades autónomas (Aragón, Asturias, Canarias, Cataluña, Madrid, Murcia, País Vasco, entre otras). Reúne aproximadamente 178 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy y normalmente vale entre 2,5 y 3 puntos sobre 10 — es decir, un cuarto del examen. La estructura típica de la pregunta plantea una situación empresarial (producción de dos productos, mezcla de materias primas, dieta, transporte, agricultura, fábrica de muebles) que debe traducirse a un sistema de restricciones lineales y resolverse con el método gráfico.

Este bloque conecta con el de matrices y sistemas (los vértices de la región factible se calculan resolviendo sistemas

2\times 2

entre las rectas frontera) y se diferencia claramente del de funciones y derivadas porque la optimización es discreta sobre vértices, no por anulación de derivada. El error que más penaliza el corrector es olvidar las restricciones de no negatividad (

x \geq 0

y \geq 0

): sin ellas la región factible suele quedar mal definida y el óptimo cambia. Otro fallo habitual es traducir mal el enunciado verbal: confundir cuál es la variable, qué restricción es

\leq

y cuál

\geq

, o no identificar correctamente la función objetivo.

En esta guía encontrarás la estructura completa del bloque: el orden recomendado para resolverlo, las fórmulas y conceptos imprescindibles, una tarjeta-resumen del subtema con su URL específica para profundizar, las diferencias por comunidad autónoma, y respuestas a las preguntas más frecuentes. Importante: en Matemáticas CCSS solo entra el método gráfico con dos variables (

x, y

) — el método simplex y la optimización con

n

variables pertenecen al ámbito universitario y NO se evalúan en selectividad.

¿En qué orden estudiar programación lineal?

Cada paso depende del anterior. Sigue este orden para no perder tiempo:

1
Lectura comprensiva del enunciado y definición de variables
El paso más importante. Identifica qué te están preguntando (¿cuánto producir de cada producto? ¿cuánto invertir en cada activo?). Define dos variables ( $x, y$ ) que representen cantidades — siempre $\geq 0$ . Sin variables bien definidas, todo el problema sale mal.
2
Plantear las restricciones desde el enunciado verbal
Traduce cada limitación del problema (horas de trabajo, presupuesto, materia prima, demanda mínima) a una inecuación lineal del tipo $a_1 x + a_2 y \leq b$ o $\geq b$ . Añade SIEMPRE las restricciones de no negatividad $x \geq 0$ , $y \geq 0$ . Olvidarlas penaliza hasta 0,5 puntos.
3
Identificar la función objetivo
Es la función $F(x,y) = c_1 x + c_2 y$ que hay que maximizar (beneficio, ingresos) o minimizar (coste, gasto). Lee el enunciado con cuidado: "maximizar el beneficio total" o "minimizar el coste de producción" son las pistas claras.
4
Dibujar la región factible
Representa cada recta frontera $a_1 x + a_2 y = b$ y elige el semiplano que cumple la inecuación (con un punto de prueba como $(0,0)$ si la recta no pasa por el origen). La región factible es la intersección de todos los semiplanos — el polígono donde se cumplen TODAS las restricciones a la vez.
5
Hallar los vértices del polígono
Cada vértice se obtiene resolviendo el **sistema $2\times 2$ ** entre dos rectas frontera adyacentes. Etiqueta cada vértice con sus coordenadas exactas $(x_i, y_i)$ . Verifica que cada vértice cumple TODAS las restricciones (a veces el corte de dos rectas cae fuera de la región).
6
Evaluar la función objetivo en los vértices
Calcula $F(x_i, y_i)$ en cada vértice. El máximo (o mínimo) entre esos valores es la solución del problema. Indica claramente el vértice óptimo y traduce el resultado al contexto del enunciado ("se deben producir 30 sillas y 20 mesas para maximizar el beneficio de 1240 €").

Los 1 subtemas de programación lineal en PAU 🗂

Cada subtema tiene su página propia con fórmulas detalladas, pasos para resolver, errores frecuentes y problemas de exámenes oficiales PAU paso a paso.

Programación lineal

160 problemas

Resolución gráfica de problemas de optimización con dos variables: planteamiento de restricciones desde enunciado verbal, dibujo de la región factible, cálculo de vértices y evaluación de la función objetivo. Aparece en la mayoría de PAU CCSS. 178 problemas históricos.

F(x,y) = c_1 x + c_2 y

óptimo en un vértice del polígono

Ver guía completa

Fórmulas clave de programación lineal 📐

Las que aparecen en TODOS los subtemas. Si memorizas solo estas, tienes lo esencial.

Forma general de una restricción

a_1 x + a_2 y \leq b \qquad \text{o} \qquad a_1 x + a_2 y \geq b

Restricciones de no negatividad (obligatorias)

x \geq 0, \qquad y \geq 0

Función objetivo

F(x,y) = c_1 x + c_2 y \quad (\text{maximizar o minimizar})

Teorema fundamental de la programación lineal

\text{Si la región es acotada, el óptimo de } F \text{ se alcanza en un vértice del polígono}

Vértice como intersección de dos rectas

\begin{cases} a_1 x + a_2 y = b_1 \\ c_1 x + c_2 y = b_2 \end{cases} \Rightarrow (x_v, y_v)

¿Cómo evalúa cada CCAA programación lineal? 🌍

Diferencias clave por CCAA: en Madrid la programación lineal es casi obligatoria — aparece prácticamente todos los años con enunciados de fábrica o producción. En Cataluña se plantea con tono empresarial y suele exigir interpretación económica del resultado (no basta dar el número). En Aragón y Asturias los enunciados son típicamente de dieta o transporte. En Canarias y Murcia son frecuentes los problemas de agricultura (hectáreas de dos cultivos). En País Vasco el enunciado tiene tono empresarial específico (producción de relojes, montaje, etc.) y se valora especialmente la justificación gráfica. En Andalucía y Galicia aparece con menor frecuencia pero, cuando cae, el enunciado pide separar máximos y mínimos del mismo problema. En Cantabria, Castilla-La Mancha, Castilla y León, C. Valenciana, Baleares, Navarra, La Rioja y Extremadura es pregunta habitual con estructura clásica (planteo → región factible → vértices → óptimo). Para una comparación detallada de cómo evalúa cada comunidad este bloque, consulta nuestro artículo del blog Diferencias selectividad Matemáticas CCSS por CCAA.

Preguntas frecuentes sobre programación lineal en PAU 💬

¿Qué entra en el bloque de programación lineal en selectividad CCSS?: Entra la resolución gráfica de problemas de optimización con dos variables: planteamiento de restricciones lineales desde un enunciado verbal, representación de la región factible (intersección de semiplanos), cálculo de los vértices del polígono, evaluación de la función objetivo en cada vértice y determinación del óptimo (máximo o mínimo). En Mat CCSS NO entra el método simplex ni la programación lineal con más de dos variables — eso es universidad.
¿Cuánto pesa este bloque en la nota de PAU?: En la mayoría de comunidades pesa entre 2,5 y 3 puntos sobre 10, lo que supone el 25-30% del examen. Es uno de los bloques de mayor peso de la asignatura junto con probabilidad y estadística inferencial. Por su carácter sistemático (mismo esquema en todos los problemas) tiene una alta relación esfuerzo/nota si se domina el procedimiento de seis pasos.
¿Por qué el óptimo está siempre en un vértice de la región factible?: Porque la función objetivo $F(x,y) = c_1 x + c_2 y$ es lineal y sus curvas de nivel ( $F = k$ ) son rectas paralelas. Al desplazar esa recta paralela sobre la región factible (un polígono convexo), el último punto que la recta toca antes de salir de la región es siempre un vértice del polígono. Por eso basta con evaluar $F$ en los vértices: el mayor valor es el máximo y el menor el mínimo. Este resultado se conoce como teorema fundamental de la programación lineal.
¿Qué pasa si la región factible no es acotada?: Si la región es no acotada (se extiende al infinito en alguna dirección), puede ocurrir que el problema no tenga solución finita: si se trata de maximizar y la función objetivo crece indefinidamente dentro de la región, no hay máximo (la solución es $+\infty$ ); si se trata de minimizar y decrece sin tope, no hay mínimo. En estos casos se concluye que "el problema no admite óptimo finito". En PAU CCSS lo habitual es que la región sea acotada y haya solución, pero el comentario sobre acotación se valora.
¿Cómo planteo las restricciones cuando el enunciado solo da palabras?: Sigue cuatro pasos: (1) Identifica las dos variables ( $x =$ número de sillas, $y =$ número de mesas, por ejemplo). (2) Lee cada restricción del enunciado ("se dispone de 60 horas de trabajo", "se necesitan al menos 10 sillas"). (3) Traduce a inecuación: si la frase dice "como mucho", "no más de", "se dispone de" → $\leq$ ; si dice "al menos", "como mínimo", "se necesita" → $\geq$ . (4) **Añade siempre $x \geq 0$ , $y \geq 0$ ** — son las restricciones de no negatividad obligatorias en problemas de cantidades reales.

🎲 Practica un problema PAU oficial al azar de programación lineal

Te llevamos a un problema aleatorio. Resuélvelo y vuelve para otro. Mejor manera de prepararte.

Exámenes oficiales PAU de programación lineal resueltos paso a paso 📝

183 de 183

Asturias·Extraordinaria 2025·Pregunta 4

Programacion lineal

Terapeuta: sesiones A (30 min), B (60 min). Max 7.5h. Al menos 1B. A >= B. A <= 3B.

	Cacao	Nata	Azúcar	Precio
Trufa dulce	20 gr	20 gr	30 gr	1 €
Trufa amarga	100 gr	20 gr	15 gr	1,3 €
DISPONIBILIDAD	30 kg	8 kg	10,5 kg

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