Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = a + b\cos(x) + c\,\text{sen}(x).$$ Halla $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \dfrac{\pi}{2}$ a la recta $y = 1$ como recta tangente, y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Sea la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)e^{-x^2}.$$
a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.
b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x) = -x^2 + 7$ y $g(x) = |x^2 - 1|$.
a) [1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Halla $$\int_{0}^{\pi/2} e^x \cos(x)\,dx.$$

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $X$ que cumplen $XA = -AX^t$ y $X^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.
b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $Y$ que cumplen $YA = AY$, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante $-1$.

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes $A$, $B$ y $C$. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo $A$, 30 de tipo $B$ y 15 de tipo $C$, por un importe de 2.200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo $A$, 10 de tipo $B$ y 10 de tipo $C$, por un importe de 1.250 euros.
a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo $A$, 10 perfumes de tipo $B$ y 16 de tipo $C$?
b) [1,25 puntos] Si añadimos que el precio de un perfume de tipo $C$ es $\frac{2}{5}$ del precio de una unidad de tipo $A$, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

Considera el plano $\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$, $\lambda \in \mathbb{R}$.
a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $\pi$ y $r$.
b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en $\pi$ que pasa por el punto $P(2, -1, -2)$ y es perpendicular a $r$.

Considera los puntos $A(4, 0, 0)$ y $B(0, 2, 0)$. Calcula los puntos del plano $OXZ$ que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$.