Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2024

Se consideran las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$. a) Calcular la inversa de la matriz $A+A^t$, donde $A^t$ es la traspuesta de $A$. (1 punto) b) Encontrar la matriz $X$ que verifica $XA + XA^t = C$. (1 punto)

Estudia el rango de la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2m & 2 & 2 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$$ según sea el valor de $m$. (2 puntos)

a) Dados los vectores $\vec{u}=(2,1,0)$, $\vec{v}=(5,0,1)$ y $\vec{w}=(a,b,1)$, calcular $a$ y $b$ para que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes. (1 punto) b) Calcular el volumen del paralelepipedo que forman $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z}=(1,2,1)$. (1 punto)

Se consideran las rectas $$r: \begin{cases} x=1-2\lambda \\ y=5+2\lambda \\ z=-6\lambda \end{cases}$$ y $s: \dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-1}{a} = \dfrac{z}{3}$. a) Calcular $a$ para que ambas rectas sean paralelas. (1 punto) b) Hallar el angulo que forman la recta $r$ y el plano de ecuacion $-3x+4y-4=0$. (1 punto)

Se considera la función $f(x) = 4x + \dfrac{4}{x^2}$. a) Estudiar sus asintotas, monotonia y extremos relativos. (1.5 puntos) b) Representarla graficamente. (0.5 puntos)

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - b & \text{si } x < 0 \\ a + cx & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ cumpla las hipotesis del teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 2]$. (2 puntos)

Hallar la integral $\displaystyle\int \dfrac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x}\,dx$. (2 puntos)

Determinar el area encerrada por las graficas de las funciones $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6$, $g(x) = 2x + 6$. (2 puntos)

En una votacion se registran 900 votos en total. El candidato A consigue 300 votos; el B consigue el 25% del total y el candidato C se lleva el resto. Se sabe que el 60% de los que han votado al candidato A eran mujeres; el 60% de los del B eran hombres, y el 20% de los del candidato C eran mujeres. a) Si se elige un votante al azar, ¿cual es la probabilidad de que sea mujer? (1 pt) b) Si un votante es hombre, ¿cual es la probabilidad de que haya votado al candidato A? (1 pt)

La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es de 0.4. Si realiza 5 lanzamientos, calcula: a) La probabilidad de que no haga ningun hoyo. (0.75 pts) b) La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos. (0.75 pts) c) El número medio de hoyos. (0.5 pts)