¿Cuántos problemas tiene el examen de Matemáticas II Extraordinaria 2024 en Madrid?

Este examen oficial consta de 8 problemas. Bloques: Álgebra, Análisis, Geometría, Probabilidad.

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Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2024

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Temas de Matemáticas II evaluados en esta convocatoria

#Álgebra#Análisis#Geometría#Probabilidad

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Criterios generales de corrección de Matemáticas II, Madrid, curso 2024

[puntuacion] a) Ejemplo válido con justificación: 1 punto. b) Ejemplo válido con justificación: 1 punto. c) Justificación correcta: 0.5 puntos. (+2.5 pts)
[puntuacion] a) Plano mediador correctamente determinado: 1 punto. b) Planteamiento de la suma de cuadrados y resolución (descartando vértice con coordenadas nulas): 1.5 puntos. (+2.5 pts)
[puntuacion] a) Aplicación del teorema de la probabilidad total: 1 punto. b) Cálculo de $P(C)$: 1 punto. Discusión de independencia de $C$ y $A_2$: 0.5 puntos. (+2.5 pts)
[puntuacion] a) Demostración con propiedades del determinante: 0.75 puntos. b) Cálculo de $\det C$, $\det D$, $\det(C+D)$ y resolución para $\alpha$: 1 punto. c) Resolución del sistema homogéneo: 0.75 puntos. (+2.5 pts)
[puntuacion] a) Paridad y monotonía: 0.75 puntos. b) Identificación de los puntos de corte y planteamiento de la integral: 1 punto; cálculo de la primitiva y aplicación de la regla de Barrow: 0.75 puntos. (+2.5 pts)

+2 criterios adicionales, expandibles en cada problema.

Solución paso a paso del examen Matemáticas II selectividad Madrid Extraordinaria 2024

Solución paso a paso · Navegable (sin descarga)

Modelo A

Modelo A — Pregunta 1

2,5 puntos(1,5 + 1)

Álgebra

Discusión y resolución de un sistema con parámetro

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro

\lambda

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda-1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},

se pide:

Discutir el sistema en función de los valores de

\lambda

(1.5 pts)

Resolver el sistema en el caso

\lambda=1

y encontrar, si es posible, una solución con

x=5

(1 pt)

Álgebra también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Álgebra

Modelo A — Pregunta 2

2,5 puntos(1 + 1 + 0,5)

Análisis

Polinomios de grado 2: tangencia, extremos y conteo

a) (1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 cuya gráfica sea tangente a la recta

y=x

en el punto

(0,0)

.
b) (1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 que tenga un máximo relativo en el punto

(1,1)

.
c) (0.5 puntos) Justifique si una función polinómica de grado 2 puede tener dos extremos relativos en

\mathbb{R}

Polinomio de grado 2 tangente a

y=x

(0,0)

(1 pt)

Polinomio de grado 2 con máximo relativo en

(1,1)

(1 pt)

¿Puede un polinomio de grado 2 tener dos extremos relativos?

(0.5 pts)

Análisis también cae en 24 convocatorias másMás problemas PAU de Análisis

Modelo A — Pregunta 3

2,5 puntos(1 + 1,5)

Geometría

Plano mediador y vértice de un triángulo en una recta

Sean los puntos

P(1,-1,3)

Q(2,1,-1)

:
a) (1 punto) Determine una ecuación del plano respecto del cual ambos puntos son simétricos.
b) (1.5 puntos) El segmento

PQ

es uno de los tres lados del triángulo cuya suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados es

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y el tercer vértice se encuentra en la recta

r \equiv x - 2 = y = z

. Calcule las coordenadas del tercer vértice sabiendo que ninguna de sus coordenadas es nula.

Plano respecto del cual

P

Q

son simétricos.

(1 pt)

Tercer vértice del triángulo en la recta

r

(1.5 pts)

Geometría también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Geometría

Modelo A — Pregunta 4

2,5 puntos(1 + 1,5)

Probabilidad

Probabilidad total con sucesos incompatibles e independencia

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles,

A_1

A_2

, de igual probabilidad

0.4

y se considera

A_3 = \overline{A_1 \cup A_2}

(por tanto, la probabilidad de

A_3

0.2

). De cierto suceso

B

se sabe que

P(B|A_1) = P(B|A_2)

P(B|A_3) = 2P(B|A_1)

. Y de un suceso

C

independiente de

A_1

se sabe que

P(C|A_2) = 0.3

P(C|A_3) = 0.6

. Con estos datos se pide:
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de

B

P(B|A_1) = 0.25

.
b) (1.5 puntos) Calcular la probabilidad de

C

y determinar si

C

es independiente de

A_2

Calcular

P(B)

con

P(B|A_1) = 0.25

(1 pt)

Calcular

P(C)

y discutir la independencia de

C

A_2

(1.5 pts)

Probabilidad también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Probabilidad

Modelo B

Modelo B — Pregunta 5

2,5 puntos(0,75 + 1 + 0,75)

Álgebra

Igualdad de determinantes y sistema homogéneo

Como es bien sabido, la siguiente igualdad de determinantes

\det(A+B) = \det A + \det B

no es cierta en general.
a) (0.75 puntos) Si

A

B

son dos matrices para las que

\det(A+B) = \det A + \det B

, pruebe que entonces

\det\!\bigl((A+B)^2\bigr) = \det(A^2) + \det(B^2) + 2\det(AB).

b) (1 punto) Dadas las matrices

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ \alpha & 1 & 0 \\ 2 & -1 & \alpha \end{pmatrix},\qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix},

determine el único valor de

\alpha

con el que sí se cumple la igualdad

\det(C+D) = \det C + \det D

.
c) (0.75 puntos) Para el valor

\alpha = -1

, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a

C

como matriz de coeficientes.

Demostrar la igualdad sobre

\det((A+B)^2)

(0.75 pts)

Hallar

\alpha

con

\det(C+D) = \det C + \det D

(1 pt)

Resolver el sistema homogéneo

Cx = 0

con

\alpha = -1

(0.75 pts)

Álgebra también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Álgebra

Modelo B — Pregunta 6

2,5 puntos(0,75 + 1,75)

Análisis

Función cúbica: paridad, monotonía y área entre curvas

Dada la función

f(x) = x^3 - 3x

, se pide:
a) (0.75 puntos) Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) (1.75 puntos) Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de

f(x)

y de

g(x) = x(x-3)

Paridad y monotonía de

f

(0.75 pts)

Área entre

f(x) = x^3 - 3x

g(x) = x(x-3)

(1.75 pts)

Análisis también cae en 24 convocatorias másMás problemas PAU de Análisis

Modelo B — Pregunta 7

2,5 puntos(1 + 1,5)

Geometría

Posición relativa, distancia y perpendicular común a un punto

Dado el punto

P(5,-1,2)

y las rectas:

r \equiv \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-0}{1},\qquad s \equiv \begin{cases} x - y = 5 \\ x + z = 3 \end{cases},

se pide:
a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de ambas rectas y hallar la distancia entre ellas.
b) (1.5 puntos) Determinar una ecuación de la recta que pasa por

P

y corta perpendicularmente a la recta

r

Posición relativa de

r

s

y distancia entre ellas.

(1 pt)

Recta por

P

que corta perpendicularmente a

r

(1.5 pts)

Geometría también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Geometría

Modelo B — Pregunta 8

2,5 puntos(1 + 1,5)

Probabilidad

Lanzamientos alternados y aproximación normal de la binomial

Antonio y Benito, compañeros de piso, lanzan alternadamente un dardo cinco veces a una diana para decidir quién friega. Friega quien menos veces acierte el centro de la diana. En caso de empate, friegan juntos. Si Antonio acierta el centro de la diana en el

25\,\%

de sus lanzamientos y Benito en el

30\,\%

, se pide:
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento para decidir quién friega.
b) (1.5 puntos) Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de

60

lanzamientos.

Probabilidad de decidir antes del cuarto lanzamiento.

(1 pt)

Aproximación normal:

P(\text{Antonio falla} \geq 2/3 \text{ de } 60)

(1.5 pts)

Probabilidad también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Probabilidad

✍ Resuelto por el equipo de Selectividad Academy

Sobre el examen PAU Matemáticas II Madrid Extraordinaria 2024

Esta convocatoria extraordinaria 2024 del examen de Matemáticas II en Madrid consta de 8 problemas. Se evaluaron 4 bloques: Álgebra, Análisis, Geometría y Probabilidad. La corrección sigue los criterios oficiales publicados por la administración educativa de Madrid.