Discutir el sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $\alpha$: $$\begin{cases} \alpha x+2y-z=\alpha \\ 2x+\alpha y+z=2+\alpha \\ x-\alpha y+2z=2\alpha \end{cases}$$ Resolver para $\alpha=1$, si es posible.

Dadas $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$, $$C=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (o lectura equivalente del enunciado), calcular la matriz $X$ de orden $2\times 2$ que verifica $A^2 X + B = C$.

Sea $r$ la recta paramétrica $\{x=t,\ y=2+2t,\ z=1+3t\}$, $A=(1,2,3)$, $B=(3,2,1)$. Encontrar la ecuación del plano paralelo a $r$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$. Calcular la distancia de la recta $r$ a ese plano.

Sean $A=(0,2,1)$, $B=(1,b,0)$, $C=(-1,0,2)$ y $D=(1,1,1)$. a) Calcular el valor de $b$ para que $A,B,C,D$ estén en el mismo plano. b) El plano que contiene a $A,B,C,D$ es perpendicular al segmento $PQ$ y lo divide en dos partes iguales. Si $P=(1,2,-3)$, calcular $Q$.

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)=\dfrac{x-4}{x^2-4}$ y calcular máximos y mínimos.

Sea $f(x)=x^4+Ax^2+Bx+C$. Obtener $A,B,C$ para que en $x=0$ la recta tangente sea $y=2x-1$, y en $x=1$ la recta tangente sea horizontal. El extremo en $x=1$ ¿es máximo o mínimo?

Dibujar el recinto limitado por las parábolas $y=4x-x^2$ y $y=x^2-6$ y calcular su área.

Calcular $\int x\ln(x+1)\,dx$, explicando el método utilizado.

De 700 estudiantes de un centro escolar, 500 son del barrio, 575 usan el servicio de comedor y 400 son del barrio y utilizan el servicio. Elegimos un estudiante al azar. a) Si es del barrio, ¿P de que use el comedor? b) Si usa el comedor, ¿P de que no proceda del barrio? c) P de que sea del barrio o use comedor? d) P de que no sea del barrio ni utilice comedor?

Estatura de individuos según $N(\mu=1{,}74;\ \sigma=0{,}05)$ cm. a) P de estatura ≤ media. b) P de estatura entre 1,64 y 1,84 cm. c) En población de 1.500, ¿cuántos con estatura inferior a 1,54 cm?