Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

1. Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k:
a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k.
[1,25 punts]
3
b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas k = 1, i feu-ne una interpretació geomètrica.
[1,25 punts]

2. a) Donada la funció
, calculeu l’equació de la recta tangent a y = $f(x)$ en el punt
d’abscissa x = 1. Trobeu també l’equació de la recta normal a y = $f(x)$ en aquest mateix
punt.
[1,25 punts]
5
b) Feu un esbós de les gràfiques de la corba y = $f(x)$ i de la recta 4x + y = 8, i calculeu l’àrea
delimitada per aquestes dues gràfiques, l’eix de les abscisses i la recta vertical x = 3.
[1,25 punts]

3. En $\mathbb{R}$3 es donen els punts A = (3, 1, 1), B = (0, 0, 1), C = (4, 1, 2) i D = (1, 1, t), en què t és
un valor real.
a) Per a quin valor de t els quatre punts són coplanaris?
[1 punt]
7
b) Trobeu el valor de t per tal que el tetraedre (irregular) que formen els quatre punts
tingui un volum de 5u3.
[1,5 punts]
Nota: El volum d’un tetraedre definit pels vectors v1, v2 i v3 és igual a un sisè del
valor absolut del determinant de la matriu formada per tots tres vectors,
.

4. a) En la figura es mostra la gràfica de la fun-
ció $f(x)$. Representeu de manera esquemà-
tica la gràfica de la funció derivada de $f(x)$.
Expliqueu el raonament que heu seguit.
[1,25 punts]
9
b) Calculeu els valors de a i b perquè la funció $g(x)$ = ax3 + bx2 + 1 tingui un punt d’infle-
xió en
i la seva derivada en aquest punt sigui
.
[1,25 punts]

5. Sigui la matriu
, en què a és un paràmetre real.
a) Trobeu per a quins valors de a la matriu A és invertible.
[1 punt]
11
b) Comproveu que, per al cas a = 3, la matriu A és invertible i resoleu l’equació matri-
cial A X = B – 3I, en què B és la matriu
.
[1,5 punts]

6. Considereu la funció
.
a) Estudieu si té punts crítics i, en cas que en tingui, justifiqueu de quin tipus són.
Determineu també quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció.
[1,5 punts]
13
b) Comproveu que l’equació $f(x)$ = 0 té una única solució en l’interval (–2, 1).
[1 punt]