Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Dado el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} ax + z = a \\ 2x - y - z = -1 \\ y + ax = a \end{cases}$$, $a \in \mathbb{R}$.
a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de $a$. (1.5 puntos)
b) Resuelvelo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$. Calcula:
a) Si existe, su inversa. (1 punto)
b) La matriz $X$ cuadrada de orden $3$ que verifica: $(X + A)^2 = X^2 + X\cdot A + I_3$ ($I_3$ matriz identidad de orden 3). (1.5 puntos)

Sea la función $f(x) = x - \dfrac{1}{x^2}$.
a) Haz un esbozo de su grafica determinando: dominio de definicion, asintotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos y minimos relativos y puntos de corte con los ejes coordenados. (1.5 puntos)
b) Calcula el area de la region limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$ y el eje de ordenadas. (1 punto)

En una nave industrial se quiere instalar una pantalla de cine cuyo lateral viene dado por la función $f(x) = 12 - \dfrac{x^2}{3} \geq 0$. Calcula los valores positivos $(x, y)$ que hacen maxima el area de la pantalla. (2.5 puntos)

Sea el tetraedro de la figura formado por $A(3, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 8)$ y $D(\alpha, 1, 1)$. Calcula:
a) El area del triangulo limitado por los puntos $A$, $B$ y $C$. (0.5 puntos)
b) La ecuacion del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$. (0.75 puntos)
c) El valor de $\alpha$ para que el vector $\overrightarrow{AD}$ sea perpendicular al plano $\pi$ anterior. (0.75 puntos)
d) Para $\alpha = 5$, el punto $D'$ simetrico de $D$ respecto al plano $\pi$. (0.5 puntos)

Sean el punto $P(1, 0, 1)$ y la recta $$r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}$$. Calcula:
a) Las ecuaciones parametricas de la recta $r$. (0.75 puntos)
b) La distancia de $r$ a $P$ y el punto $Q \in r$ donde se alcanza dicha distancia. (1 punto)
c) La ecuacion del plano $\pi$ que contiene a $r$ y a la recta $s$ formada por todos los puntos que distan de $P$ lo mismo. (0.75 puntos)

Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. Se elige al azar una caja y de ella se extrae una bola al azar. Sabiendo que en cada caja la bola es roja se extrae al azar un dado de la caja A. Si es negro, se extrae al azar un dado de la caja C. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. (0.75 puntos)
b) La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. (0.75 puntos)
c) La probabilidad de que el dado sea rojo. (1 punto)

Se tiene un nuevo con variable aleatoria $X$ que sigue una distribucion normal de media $\mu = 30$ y desviacion tipica $\sigma = 5$. Calcula:
a) $P(X \leq 20)$. (1.25 puntos)
b) Se hace una revision de los datos y se observa que la probabilidad del 50% se alcanza en el valor $X \leq 30$, y la probabilidad del 75% se alcanza en el valor $X \leq 40$. ¿Cuales son los nuevos media y desviacion tipica? (1.25 puntos)
(Algunos valores de la función de distribucion de la distribucion normal de media 0 y desviacion tipica 1: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}8416) = 0{,}8$, $F(0{,}6745) = 0{,}75$, $F(1) = 0{,}8413$, $F(1{,}25) = 0{,}8944$, $F(1{,}375) = 0{,}9154$, $F(1{,}5) = 0{,}9332$, $F(2) = 0{,}9772$.)