Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Considera el sistema de ecuaciones: $\lambda^2 x + 3y = 3\lambda$, $3x+y=3$, dependiente del parámetro λ. 1) [1 PUNTO] Determina para qué valores de λ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso. 2) [1 PUNTO] Determina para qué valores de λ el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro λ si es necesario. 3) [0,5 PUNTOS] Determina para qué valores de λ el sistema no tiene solución.

Considera la función $f(x)=\dfrac{x}{e^x}=x\,e^{-x}$. 1) [0,5 PUNTOS] Calcula la derivada primera. 2) [0,5 PUNTOS] Halla los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. 3) [0,5 PUNTOS] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto $x=2$. 4) [1 PUNTO] Calcula $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.

Considera los puntos A=(1,1,0), B=(0,1,1), C=(-1,0,1) y el origen de coordenadas O. 1) [0,75 PUNTOS] Calcula la ecuación del plano Π que contiene a los puntos A, B y C. 2) [0,25 PUNTOS] Comprueba que el origen de coordenadas O está contenido en el plano Π. 3) [0,5 PUNTOS] Comprueba que $\vec{AB}$ es paralelo a $\vec{OC}$ y que $\vec{AO}$ es paralelo a $\vec{BC}$. 4) [1 PUNTO] Calcula el área del paralelogramo ABCO.

Una determinada especie de aves siempre pone dos huevos, pero a la madre solo le es posible alimentar a un polluelo, el más fuerte de los dos. El polluelo del huevo que primero eclosiona tiene un 60% de probabilidad de ser el superviviente, mientras que el polluelo del huevo que eclosiona en segundo lugar tiene una probabilidad de sobrevivir del 30%. 1) [1,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente. 2) [1,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar.

Considera la ecuación matricial XA − 2X = A, en donde $$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & -2 \end{pmatrix}$$, siendo a una constante real. 1) [0,5 PUNTOS] Estudia el rango de A en función del parámetro a. 2) [0,25 PUNTOS] Indica para qué valores se puede calcular la inversa de A. 3) [0,75 PUNTOS] Despeja X de la ecuación matricial. 4) [1 PUNTO] Calcula X para a=2.

Considera la función $f(x)=-x^2+4x$. 1) [0,25 PUNTOS] Calcula la derivada de f(x). 2) [0,75 PUNTOS] Halla los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de f(x). 3) [0,5 PUNTOS] Calcula una primitiva de f(x). 4) [1 PUNTO] Calcula el área del recinto limitado por f(x), las rectas x=1, x=3 y el eje OX de abscisas.

Considera los puntos A=(2,1,5), B=(3,4,1) y la recta $$r:\begin{cases} x=3-\lambda \\ y=4-3\lambda \\ z=1-4\lambda \end{cases}$$. 1) [0,5 PUNTOS] Calcula la ecuación de la recta r' que pase por A y B. 2) [1 PUNTO] Determina la posición relativa de las rectas r y r'. 3) [1 PUNTO] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y el origen de coordenadas.

En una determinada población de adultos sanos, la concentración media de colesterol en sangre sigue una distribución normal con media 190 mg/dl y desviación típica 30 mg/dl. Un nivel elevado de colesterol puede indicar posibles problemas de salud. 1) [1,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un adulto sano de la población tenga un nivel de colesterol superior a 250 mg/dl. 2) [1,25 PUNTOS] Calcula qué nivel de colesterol solo superan el 1% de adultos sanos de dicha población.