Discutir la existencia de soluciones del sistema según el parámetro $\alpha$, y resolverlo para $\alpha=1$: $$\begin{cases} \alpha x+2y-2z=2 \\ 2x+2y-2z=\alpha \\ \alpha x+2y-z=1 \end{cases}$$

Calcular razonadamente, usando propiedades de los determinantes, el valor de $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix}$$, sabiendo que $$\begin{vmatrix} p+a & q+b & r+c \\ 2x & 2y & 2z \\ p+x & q+y & r+z \end{vmatrix} = 6.$$

Sea la recta $$r: \begin{cases} 3x+\alpha y+z=1 \\ 2x+6y-2z=6 \end{cases}$$. ¿Existe algún valor de $\alpha$ para el que el plano $\pi: x+y+z=1$ contenga a la recta $r$? Razona.

Encontrar las ecuaciones paramétricas de $$r: \begin{cases} 3x+y+z=0 \\ x-y+2z=0 \end{cases}$$. ¿Existe algún valor de $s$ para el que el punto $(-3, s, s)$ esté en $r$? Razonar.

Calcular las rectas tangentes a la gráfica de $f(x)=2x^3-3x+1$ que son paralelas a la recta $y=3x-2$. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

Sea $$f(x)=\begin{cases} x^2+Ax, & x\le 1 \\ Bx-A, & x>1 \end{cases}$$. a) Encontrar $A$ y $B$ para que $f$ sea derivable en toda la recta real. b) Representar gráficamente $f$ con esos valores.

Calcular $\int \ln(x^2-1)\,dx$.

Dibujar el recinto en el primer cuadrante limitado por $f(x)=x$, $g(x)=x/8$, $h(x)=1/x^2$. Calcular el área.

La urna $S$ contiene 5 bolas blancas y 3 negras. La urna $T$ tiene 6 blancas y 4 negras. Se elige una urna al azar y se sacan dos bolas. a) Probabilidad de que las dos sean negras. b) Sabiendo que las dos son negras, probabilidad de que la urna elegida sea $T$.

Según un estudio, el 60% de los hogares de un barrio tienen al menos dos coches. Se elige una muestra aleatoria de 50 hogares. a) Probabilidad de que al menos 20 tengan al menos dos coches. b) Probabilidad de que el nº de hogares con al menos dos coches esté entre 30 y 40 (ambos incluidos).