Según estimación de cifras de cáncer en 2.024, el número de cánceres diagnosticados en España durante el año 2.024 alcanzará los 286.664 casos, lo que supone un ligero incremento del 2,65% respecto a 2.023 con 279.260 casos. La estimación por edad y sexo es la siguiente: 5,56% menores de 45 años, de los cuales el 62,86% son mujeres; 59,77% mayores de 65 años, de los cuales el 39,11% son mujeres; del resto, el 42,25% son mujeres.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{cases} x + 3z = 3 + \alpha y \\ z + \alpha x + y - 2 = 0 \\ x + 2z - y = 1 \end{cases}$$
(a) Discute la existencia de solución según los valores del parámetro $\alpha$.
(b) Si es posible, resuélvelo en el caso $\alpha = 0$.

Sean $\alpha$ un número real y $$A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
(a) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que existe la matriz inversa de $A$.
(b) En el caso particular en que $\alpha = 0$, calcula, si es posible, $A^{-1}$ y $A^{2025}$.

(3A) Halla el punto $P'$ simétrico de $P(1, -3, 0)$ respecto de la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-2, 0, 1)$ y $B(-2, -1, 0)$.

(3B) Sean $\pi$ el plano que pasa por los puntos $A(2, 3, 1)$, $B(3, -1, -2)$, $C(5, -1, 2)$ y $r$ la recta que pasa por los puntos $D(6, -5, -1)$, $E(7, 1, 4)$.
(a) Calcula el ángulo entre el plano $\pi$ y la recta $r$.
(b) En caso de que $\pi$ y $r$ se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$.

(4A) Sea $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 3x - 4}$.
(a) Encuentra las asíntotas de la función $f$.
(b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.
(c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

(4B) Nos han pedido que hagamos un estudio para la fabricación de tazas cilíndricas. Como condición han impuesto que deben tener una capacidad de $216\pi$ $\text{cm}^{3}$. La empresa quiere que la fabricación sea lo más económica posible.
(a) Calcula las especificaciones de medidas que deben enviar a fabricación para lograr el objetivo.
(b) Las tazas irán coloreadas por el exterior con un material cuyo coste es de 3 €/$m^{2}$. Calcula el coste de imprimación de una taza.

(5A) Calcula las dos integrales siguientes:
(a) $\displaystyle\int (2x+5)e^{x^2} \, dx$
(b) $\displaystyle\int \dfrac{x+7}{x^2+10x+25} \, dx$

(5B) Se consideran la parábola de ecuación $y = x^2 - 3x$ y la recta de ecuación $x + y = 8$.
(a) Dibuja el recinto limitado por esas dos curvas.
(b) Calcula el área del trozo de ese recinto que queda en el primer cuadrante.