Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

El ayuntamiento de Baigorri quiere modificar la estructura del skate park que obedece a la función negativa $y = f(x)$ correspondiente a la ecuación $x^2 + y^2 = 4$, pasando este de ser un semicírculo de 2 metros de radio a tener la siguiente forma (simétrica respecto al eje $OY$): [se adjunta gráfica con dos figuras: la primera, un círculo $x^2+y^2 = 4$ con una recta horizontal $y=2m$ que toca el eje superior; la segunda, el mismo círculo con dos rectas tangentes desde un punto $P$ exterior y los puntos $Q$ y $P$ marcados en el dibujo].
(a) Calcula el punto $P$. (0,5 puntos)
(b) De entre todas las rectas que prolongan el arco de circunferencia $\overline{QP}$ y pasan por $P$, calcula la ecuación de aquella que permite que la trayectoria del skate no se vea alterada al pasar de la curva a la recta (no hay baches). (2 puntos)

Un ciclista de montaña quiere ir de un punto $A$, localizado en el monte a 8 km de una pista recta, a un punto $C$ ubicado al final de la misma. Sabiendo que por la pista circulará a 20 km/h y fuera de ella a 12 km/h, calcula a qué distancia de $B$ debe unirse a la pista para llegar a $C$ en el menor tiempo posible. [Figura: triángulo rectángulo con $A$ arriba, $B$ abajo-izquierda con ángulo recto, $C$ abajo-derecha; $AB = 8$ km, $BC = 15$ km, en la pista a $20$ km/h y a campo través $12$ km/h.] (2,5 puntos)

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:
$$\begin{cases} (m^2-m)x + (m+2)y - z = 1 - m^2 \\ (m^2-m)x + (2m+1)y = 2 \\ (m-m^2)x - (2m+1)y + (m+2)z = 2m + 2 \end{cases}$$
Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. (2,5 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas $3\times 3$ tales que $|A| = \dfrac{1}{3}$ y $|B| = 3$. Calcula $|C|$ sabiendo que
$$C = 3\cdot (A^t)^2\cdot (A\cdot B)^{-1}.\quad (2{,}5\text{ puntos})$$

Calcula la ecuación continua de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas $r$ y $s$, siendo:
$$r\equiv\begin{cases} x + y - 2z - 10 = 0 \\ x + z - 3 = 0 \end{cases}, \qquad s\equiv \dfrac{x-4}{-1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1}.$$
(2,5 puntos)

Calcula la ecuación del plano que equidista de los puntos $A(3, 3, 5)$ y $B(1, -1, 1)$. Calcula la ecuación de los planos que distan del plano anterior $6\sqrt 6$. (2,5 puntos)

Sea $f(x) = e^{x\,\sin(\frac{\pi}{2}x)}$.
(a) Demuestra que existe un punto $c$ en $(2, 3)$ tal que $f(c) = \dfrac{1}{2}$. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado. (1,25 puntos)
(b) Demuestra que existe un punto $d$ en $(0, 2)$ tal que $f'(d) = 0$. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado. (1,25 puntos)

Calcula los tres puntos de corte entre $f(x) = \sin(\pi x)$ y $g(x) = x^3 - x$. Calcula el área encerrada entre ambas curvas. (2,5 puntos)