¿Cómo se aplica la regla de la cadena en selectividad?

Identifica la **función externa** y la **interna** en la composición. Deriva la externa evaluando en la interna, y multiplica por la derivada de la interna. Por ejemplo, en \sin(2x+1) la externa es \sin y la interna 2x+1: (\sin(2x+1))' = \cos(2x+1) \cdot 2. En composiciones triples (función dentro de función dentro de función) aplica la cadena en cascada.

¿Cuándo se usa la derivación logarítmica?

Cuando la función tiene la forma y = f(x)^{g(x)} con base y exponente dependientes de x (ej. y = x^x, y = (\sin x)^{\cos x}). Toma logaritmo neperiano en ambos lados: \ln y = g(x) \ln f(x), deriva implícitamente y despeja y' multiplicando por y al final. También se usa para simplificar productos largos antes de derivar.

¿Qué es la derivación implícita y cuándo se aplica?

Es derivar una ecuación F(x,y) = 0 donde y no está despejada explícitamente (ej. x^2 + y^2 = 25). Se trata y como función de x, se deriva ambos lados respecto a x aplicando la cadena (cada y deriva como y'), y se despeja y'. Aparece en problemas de tasas relacionadas y rectas tangentes a curvas implícitas, sobre todo en Andalucía, C. Valenciana y Galicia.

¿Hace falta saber la definición de derivada por límite para PAU?

Sí. Aparece como pregunta teórica corta en varias comunidades (Andalucía, País Vasco) y como herramienta cuando piden derivada en el punto de cambio de una función a trozos (donde las reglas generales pueden no aplicar). Memoriza la fórmula f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} y practica al menos un ejercicio aplicándola.

Derivadas

9 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son derivadas en selectividad PAU?

La derivada

f'(a)

de una función

f

en un punto

a

es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, y se define como el límite

f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

. En la PAU de Matemáticas II el cálculo de derivadas aparece SIEMPRE: o como pregunta directa (deriva la función), o como paso previo en problemas de optimización, estudio de funciones, recta tangente y L'Hôpital.

Los métodos imprescindibles son la regla de la cadena

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

para composiciones, la derivada del producto y del cociente para combinaciones, la derivación logarítmica para funciones del tipo

f(x)^{g(x)}

y la derivación implícita cuando

y

no está despejada. El corrector espera dominio de la tabla de derivadas elementales — no se proporciona en el examen. Errores típicos: aplicar la cadena a medias (derivar la externa pero olvidar multiplicar por la derivada de la interna), confundir

\ln

con

\log

, o derivar

\sin^2 x

como

2\sin x

sin la cadena.

Fórmulas de derivadas en PAU 📋

Definición por límite

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Definición formal. Aparece como pregunta teórica corta en Andalucía y País Vasco. Útil cuando piden derivada en un punto donde la regla general falla (función a trozos en el punto de corte).

Regla de la cadena

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Composiciones:

\sin(2x)

e^{x^2}

\ln(\cos x)

. Es la regla más usada y más penalizada cuando se aplica mal. Identifica primero la externa y la interna.

Derivada del producto y del cociente

(f \cdot g)' = f' g + f g' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}

Producto: dos factores con

x

. Cociente: denominador con

x

. Cuidado con el signo del numerador en el cociente — error frecuente.

Derivada logarítmica

y = f(x)^{g(x)} \Rightarrow \ln y = g(x) \ln f(x) \Rightarrow \frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)}

Funciones tipo

x^x

(\sin x)^{\cos x}

. Toma logaritmo neperiano en ambos lados, deriva implícitamente y despeja

y'

Derivación implícita

F(x,y) = 0 \Rightarrow \text{deriva tratando } y = y(x): \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Cuando

y

no está despejada (ej.

x^2 + y^2 = 25

). Deriva cada término respecto a

x

aplicando la cadena en los términos con

y

, luego despeja

y'

Cómo resolver derivadas paso a paso 📐

1
Identifica la estructura de la función
Antes de derivar, mira si es una suma, un producto, un cociente o una composición. La estructura decide qué regla aplicar primero. Funciones complejas suelen combinar varias.
2
Aplica la regla principal
Para sumas, deriva término a término. Para productos y cocientes, usa la fórmula correspondiente. Para composiciones, aplica la cadena desde la función externa hacia la interna.
3
Aplica la cadena en cada composición
Cada vez que dentro de una función elemental haya algo distinto de $x$ , multiplica por la derivada de ese argumento. Ejemplo: $(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot 2$ .
4
Simplifica el resultado
Saca factor común, reduce fracciones, agrupa términos semejantes. El corrector penaliza dejar expresiones obviamente simplificables. En cocientes, factoriza numerador y denominador antes de simplificar.
5
Comprueba el dominio de $f'$
La derivada puede tener un dominio más pequeño que $f$ . Identifica puntos donde $f'$ no existe (vértices de valor absoluto, raíces en denominador, cambios de definición a trozos). Esto importa para estudio de funciones.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para derivadas? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de aplicar producto o cociente, pregúntate si puedes reescribir como suma: $\frac{x^2 + 3}{x} = x + 3/x$ se deriva mucho más fácil como suma.
✓
En logaritmos neperianos, usa propiedades ANTES de derivar: $\ln(x^2 \cdot \sin x) = 2\ln x + \ln(\sin x)$ — convierte productos en sumas.
✓
Para $f(x)^{g(x)}$ siempre derivación logarítmica. No intentes aplicar la regla de la potencia ni la exponencial sola — ambas fallan.
✓
Al derivar implícitamente, recuerda que cada $y$ lleva un factor $y'$ por la cadena: $(y^2)' = 2y \cdot y'$ .
✓
En la PAU no hace falta calcular el límite de la definición salvo que lo pidan explícitamente — usa la tabla y las reglas.

Errores frecuentes al resolver derivadas que penalizan el corrector ⚠

×
Olvidar multiplicar por la derivada de la interna al aplicar la cadena (error más frecuente del bloque).
×
Confundir $(\ln x)' = 1/x$ con $(\log x)' = 1/(x \ln 10)$ — el corrector lo detecta inmediatamente.
×
En el cociente, escribir $f' g + f g'$ en lugar de $f' g - f g'$ (signo del numerador).
×
Derivar $f(x)^{g(x)}$ como si fuera potencia ( $g(x) \cdot f(x)^{g(x)-1}$ ) o como exponencial sola — solo es válida la derivación logarítmica.
×
En derivación implícita, derivar $y$ como si fuera constante (olvidar el factor $y'$ ).

Preguntas frecuentes sobre derivadas en PAU 💬

¿Cómo se aplica la regla de la cadena en selectividad?: Identifica la función externa y la interna en la composición. Deriva la externa evaluando en la interna, y multiplica por la derivada de la interna. Por ejemplo, en $\sin(2x+1)$ la externa es $\sin$ y la interna $2x+1$ : $(\sin(2x+1))' = \cos(2x+1) \cdot 2$ . En composiciones triples (función dentro de función dentro de función) aplica la cadena en cascada.
¿Cuándo se usa la derivación logarítmica?: Cuando la función tiene la forma $y = f(x)^{g(x)}$ con base y exponente dependientes de $x$ (ej. $y = x^x$ , $y = (\sin x)^{\cos x}$ ). Toma logaritmo neperiano en ambos lados: $\ln y = g(x) \ln f(x)$ , deriva implícitamente y despeja $y'$ multiplicando por $y$ al final. También se usa para simplificar productos largos antes de derivar.
¿Qué es la derivación implícita y cuándo se aplica?: Es derivar una ecuación $F(x,y) = 0$ donde $y$ no está despejada explícitamente (ej. $x^2 + y^2 = 25$ ). Se trata $y$ como función de $x$ , se deriva ambos lados respecto a $x$ aplicando la cadena (cada $y$ deriva como $y'$ ), y se despeja $y'$ . Aparece en problemas de tasas relacionadas y rectas tangentes a curvas implícitas, sobre todo en Andalucía, C. Valenciana y Galicia.
¿Hace falta saber la definición de derivada por límite para PAU?: Sí. Aparece como pregunta teórica corta en varias comunidades (Andalucía, País Vasco) y como herramienta cuando piden derivada en el punto de cambio de una función a trozos (donde las reglas generales pueden no aplicar). Memoriza la fórmula $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y practica al menos un ejercicio aplicándola.

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