¿Cómo se resuelve un problema de optimización en selectividad PAU?

Cuatro pasos: 1) **plantea** la función a optimizar y la restricción que liga las variables; 2) **reduce** la función a una sola variable usando la restricción; 3) **deriva, iguala a cero y resuelve** para hallar candidatos a extremo dentro del dominio físico; 4) **verifica** con la 2ª derivada o tabla de signos que es máximo o mínimo. Termina dando las dimensiones finales con interpretación en el contexto.

¿Qué problemas de optimización son más típicos en PAU?

Los clásicos son: rectángulo de área máxima inscrito en un círculo o semicírculo, cilindro de volumen máximo con superficie fija (o viceversa), ventana de Norman con perímetro dado, distancia mínima de un punto a una recta o parábola, coste mínimo de una caja con base cuadrada, y problemas económicos de máximo beneficio. En Madrid abundan los geométricos; en Galicia y C. Valenciana también los económicos.

¿Cuál es el error más penalizado en optimización?

El **planteamiento**: confundir qué función hay que optimizar y cuál es la restricción, o no expresar la función con una sola variable antes de derivar. También se penaliza con fuerza no verificar que el punto crítico es máximo o mínimo (solo f' = 0 no basta) y olvidar el dominio físico del problema (dimensiones negativas).

¿Cuándo se usa la 2ª derivada para comprobar el extremo?

Después de hallar el candidato x_0 con f'(x_0) = 0, calcula f''(x_0). Si es positiva, x_0 es mínimo; si es negativa, máximo. Si f''(x_0) = 0 el criterio es inconcluso y debes usar la tabla de signos de f' a izquierda y derecha de x_0. La verificación es obligatoria y vale puntos en la corrección.

Optimización

19 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué es la optimización en selectividad PAU?

Los problemas de optimización son aquellos donde hay que encontrar el máximo o mínimo de una magnitud (área, volumen, distancia, coste, beneficio) sujeta a una restricción. En la PAU de Matemáticas II aparecen en casi todas las comunidades como pregunta clásica de 1,5-2 puntos, especialmente en Madrid, Cataluña, Galicia y C. Valenciana. La estructura del enunciado es siempre verbal: rectángulo de área máxima inscrito en un círculo, cilindro de volumen máximo con superficie fija, ventana de Norman con perímetro dado, distancia mínima de un punto a una curva, etc.

El procedimiento exige cuatro pasos: 1) identificar la función a optimizar y la restricción, 2) expresar la función con una sola variable usando la restricción, 3) derivar e igualar a cero para hallar candidatos a extremo, 4) comprobar que es máximo o mínimo con

f''

o tabla de signos. El error que más penaliza el corrector NO es el cálculo, sino el planteamiento: confundir cuál es la función objetivo y cuál la restricción, o trabajar con dos variables sin reducir a una. También se penaliza olvidar el dominio del problema (longitudes positivas, ángulos en

(0, \pi/2)

, etc.) y no interpretar el resultado en el contexto.

Fórmulas de optimización en PAU 📋

Condición de extremo (1er orden)

f'(x) = 0 \Rightarrow x \text{ es candidato a extremo}

Tras reducir la función a una sola variable. Resuelve

f'(x) = 0

y queda con los

x

dentro del dominio del problema.

Comprobación con la 2ª derivada

f''(x_0) > 0 \Rightarrow \min;\quad f''(x_0) < 0 \Rightarrow \max

Método rápido para verificar máximo o mínimo. Si

f''(x_0) = 0

es inconcluso — usa tabla de signos de

f'

Área del rectángulo y del círculo

A_{\text{rect}} = b \cdot h \qquad A_{\text{círculo}} = \pi r^2

Optimización geométrica básica: cercas, terrenos, ventanas. Combina con la restricción del perímetro o de la diagonal.

Volumen y superficie del cilindro

V = \pi r^2 h \qquad S_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h

Latas, recipientes, depósitos. Casi siempre fijan una (V o S) y piden optimizar la otra.

Distancia entre dos puntos

d(P, Q) = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}

Distancia mínima de un punto a una curva. Truco: optimiza

d^2

en lugar de

d

— la raíz no cambia el extremo y la derivada es mucho más simple.

Cómo resolver problemas de optimización paso a paso 📐

1
Identifica la función a optimizar y la restricción
Lee el enunciado dos veces. Escribe la magnitud a maximizar o minimizar (área, volumen, distancia, coste) y la condición que liga las variables (perímetro fijo, superficie fija, punto sobre una curva). Sin esta separación clara, el resto falla.
2
Expresa la función con UNA sola variable
Usa la restricción para despejar una variable en función de otra y sustituye en la función objetivo. El resultado debe ser $f(x)$ con una variable. Este paso es el más penalizado si se hace mal.
3
Determina el dominio del problema
Las longitudes, áreas y volúmenes son positivos. Los ángulos suelen estar en $(0, \pi/2)$ . El dominio físico del problema NO es necesariamente $\mathbb{R}$ — restringe antes de derivar.
4
Deriva, iguala a cero y resuelve
Calcula $f'(x) = 0$ y resuelve. Descarta las soluciones fuera del dominio del problema. Quédate con los candidatos a extremo dentro del dominio físico.
5
Comprueba que es máximo o mínimo
Usa el criterio de la 2ª derivada: $f''(x_0) > 0$ → mínimo, $f''(x_0) < 0$ → máximo. Si es inconcluso, usa tabla de signos de $f'$ . Esta verificación es obligatoria — sin ella se pierde hasta el 30% del apartado.
6
Interpreta el resultado en el contexto
Da las dimensiones finales (no solo el $x$ óptimo): si era el lado del rectángulo, calcula también el otro lado. Si era el radio, calcula también la altura. Cierra con frase explicativa: "el área máxima es… con dimensiones…".

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la optimización? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Para distancias, optimiza $d^2$ en lugar de $d$ . Como la raíz es monótona creciente, el extremo está en el mismo $x$ , pero la derivada de $d^2$ es muchísimo más simple.
✓
Si la restricción es lineal (perímetro, presupuesto), despeja la variable de forma más sencilla. Si es no lineal (superficie, distancia), valora qué variable conviene despejar para simplificar el álgebra después.
✓
En problemas de ventana de Norman (rectángulo + semicírculo), expresa todo en función del radio del semicírculo — suele dar la fórmula más limpia.
✓
Antes de derivar, simplifica algebraicamente: si puedes sacar factor común o reducir, hazlo. Derivar expresiones largas multiplica errores.
✓
Si $f''(x_0) = 0$ no te bloquees: la tabla de signos de $f'$ siempre concluye — solo es algo más larga.

Errores frecuentes al resolver problemas de optimización que penalizan el corrector ⚠

×
Trabajar con dos variables sin reducir a una (error de planteamiento — quita hasta el 50% del apartado).
×
Olvidar el dominio físico del problema y dar soluciones negativas o fuera de rango.
×
No verificar que el punto crítico es máximo o mínimo (solo $f' = 0$ no es suficiente).
×
No dar las dimensiones finales: el corrector pide la respuesta completa, no solo el $x$ óptimo.
×
Confundir la función objetivo con la restricción y derivar la restricción en lugar de la función a optimizar.

Preguntas frecuentes sobre optimización en PAU 💬

¿Cómo se resuelve un problema de optimización en selectividad PAU?: Cuatro pasos: 1) plantea la función a optimizar y la restricción que liga las variables; 2) reduce la función a una sola variable usando la restricción; 3) deriva, iguala a cero y resuelve para hallar candidatos a extremo dentro del dominio físico; 4) verifica con la 2ª derivada o tabla de signos que es máximo o mínimo. Termina dando las dimensiones finales con interpretación en el contexto.
¿Qué problemas de optimización son más típicos en PAU?: Los clásicos son: rectángulo de área máxima inscrito en un círculo o semicírculo, cilindro de volumen máximo con superficie fija (o viceversa), ventana de Norman con perímetro dado, distancia mínima de un punto a una recta o parábola, coste mínimo de una caja con base cuadrada, y problemas económicos de máximo beneficio. En Madrid abundan los geométricos; en Galicia y C. Valenciana también los económicos.
¿Cuál es el error más penalizado en optimización?: El planteamiento: confundir qué función hay que optimizar y cuál es la restricción, o no expresar la función con una sola variable antes de derivar. También se penaliza con fuerza no verificar que el punto crítico es máximo o mínimo (solo $f' = 0$ no basta) y olvidar el dominio físico del problema (dimensiones negativas).
¿Cuándo se usa la 2ª derivada para comprobar el extremo?: Después de hallar el candidato $x_0$ con $f'(x_0) = 0$ , calcula $f''(x_0)$ . Si es positiva, $x_0$ es mínimo; si es negativa, máximo. Si $f''(x_0) = 0$ el criterio es inconcluso y debes usar la tabla de signos de $f'$ a izquierda y derecha de $x_0$ . La verificación es obligatoria y vale puntos en la corrección.

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Asturias·Extraordinaria 2025·Pregunta 7

Funciones: depósito de agua

Depósito de agua: máximos, mínimos y volumen

t

Calcular los máximos y mínimos de la función.

Demostrar que el depósito no se vacía nunca.

Deducir durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas.

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