¿Cómo se resuelve un problema de optimización en selectividad PAU?

Cuatro pasos: 1) **plantea** la función a optimizar y la restricción que liga las variables; 2) **reduce** la función a una sola variable usando la restricción; 3) **deriva, iguala a cero y resuelve** para hallar candidatos a extremo dentro del dominio físico; 4) **verifica** con la 2ª derivada o tabla de signos que es máximo o mínimo. Termina dando las dimensiones finales con interpretación en el contexto.

¿Qué problemas de optimización son más típicos en PAU?

Los clásicos son: rectángulo de área máxima inscrito en un círculo o semicírculo, cilindro de volumen máximo con superficie fija (o viceversa), ventana de Norman con perímetro dado, distancia mínima de un punto a una recta o parábola, coste mínimo de una caja con base cuadrada, y problemas económicos de máximo beneficio. En Madrid abundan los geométricos; en Galicia y C. Valenciana también los económicos.

¿Cuál es el error más penalizado en optimización?

El **planteamiento**: confundir qué función hay que optimizar y cuál es la restricción, o no expresar la función con una sola variable antes de derivar. También se penaliza con fuerza no verificar que el punto crítico es máximo o mínimo (solo f' = 0 no basta) y olvidar el dominio físico del problema (dimensiones negativas).

¿Cuándo se usa la 2ª derivada para comprobar el extremo?

Después de hallar el candidato x_0 con f'(x_0) = 0, calcula f''(x_0). Si es positiva, x_0 es mínimo; si es negativa, máximo. Si f''(x_0) = 0 el criterio es inconcluso y debes usar la tabla de signos de f' a izquierda y derecha de x_0. La verificación es obligatoria y vale puntos en la corrección.

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Optimización

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué es la optimización en selectividad PAU?

Los problemas de optimización son aquellos donde hay que encontrar el máximo o mínimo de una magnitud (área, volumen, distancia, coste, beneficio) sujeta a una restricción. En la PAU de Matemáticas II aparecen en casi todas las comunidades como pregunta clásica de 1,5-2 puntos, especialmente en Madrid, Cataluña, Galicia y C. Valenciana. La estructura del enunciado es siempre verbal: rectángulo de área máxima inscrito en un círculo, cilindro de volumen máximo con superficie fija, ventana de Norman con perímetro dado, distancia mínima de un punto a una curva, etc.

El procedimiento exige cuatro pasos: 1) identificar la función a optimizar y la restricción, 2) expresar la función con una sola variable usando la restricción, 3) derivar e igualar a cero para hallar candidatos a extremo, 4) comprobar que es máximo o mínimo con

f''

o tabla de signos. El error que más penaliza el corrector NO es el cálculo, sino el planteamiento: confundir cuál es la función objetivo y cuál la restricción, o trabajar con dos variables sin reducir a una. También se penaliza olvidar el dominio del problema (longitudes positivas, ángulos en

(0, \pi/2)

, etc.) y no interpretar el resultado en el contexto.

Fórmulas de optimización en PAU 📋

Condición de extremo (1er orden)

f'(x) = 0 \Rightarrow x \text{ es candidato a extremo}

Tras reducir la función a una sola variable. Resuelve

f'(x) = 0

y queda con los

x

dentro del dominio del problema.

Comprobación con la 2ª derivada

f''(x_0) > 0 \Rightarrow \min;\quad f''(x_0) < 0 \Rightarrow \max

Método rápido para verificar máximo o mínimo. Si

f''(x_0) = 0

es inconcluso — usa tabla de signos de

f'

Área del rectángulo y del círculo

A_{\text{rect}} = b \cdot h \qquad A_{\text{círculo}} = \pi r^2

Optimización geométrica básica: cercas, terrenos, ventanas. Combina con la restricción del perímetro o de la diagonal.

Volumen y superficie del cilindro

V = \pi r^2 h \qquad S_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h

Latas, recipientes, depósitos. Casi siempre fijan una (V o S) y piden optimizar la otra.

Distancia entre dos puntos

d(P, Q) = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}

Distancia mínima de un punto a una curva. Truco: optimiza

d^2

en lugar de

d

— la raíz no cambia el extremo y la derivada es mucho más simple.

Cómo resolver problemas de optimización paso a paso 📐

1
Identifica la función a optimizar y la restricción
Lee el enunciado dos veces. Escribe la magnitud a maximizar o minimizar (área, volumen, distancia, coste) y la condición que liga las variables (perímetro fijo, superficie fija, punto sobre una curva). Sin esta separación clara, el resto falla.
2
Expresa la función con UNA sola variable
Usa la restricción para despejar una variable en función de otra y sustituye en la función objetivo. El resultado debe ser $f(x)$ con una variable. Este paso es el más penalizado si se hace mal.
3
Determina el dominio del problema
Las longitudes, áreas y volúmenes son positivos. Los ángulos suelen estar en $(0, \pi/2)$ . El dominio físico del problema NO es necesariamente $\mathbb{R}$ — restringe antes de derivar.
4
Deriva, iguala a cero y resuelve
Calcula $f'(x) = 0$ y resuelve. Descarta las soluciones fuera del dominio del problema. Quédate con los candidatos a extremo dentro del dominio físico.
5
Comprueba que es máximo o mínimo
Usa el criterio de la 2ª derivada: $f''(x_0) > 0$ → mínimo, $f''(x_0) < 0$ → máximo. Si es inconcluso, usa tabla de signos de $f'$ . Esta verificación es obligatoria — sin ella se pierde hasta el 30% del apartado.
6
Interpreta el resultado en el contexto
Da las dimensiones finales (no solo el $x$ óptimo): si era el lado del rectángulo, calcula también el otro lado. Si era el radio, calcula también la altura. Cierra con frase explicativa: "el área máxima es… con dimensiones…".

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la optimización? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Para distancias, optimiza $d^2$ en lugar de $d$ . Como la raíz es monótona creciente, el extremo está en el mismo $x$ , pero la derivada de $d^2$ es muchísimo más simple.
✓
Si la restricción es lineal (perímetro, presupuesto), despeja la variable de forma más sencilla. Si es no lineal (superficie, distancia), valora qué variable conviene despejar para simplificar el álgebra después.
✓
En problemas de ventana de Norman (rectángulo + semicírculo), expresa todo en función del radio del semicírculo — suele dar la fórmula más limpia.
✓
Antes de derivar, simplifica algebraicamente: si puedes sacar factor común o reducir, hazlo. Derivar expresiones largas multiplica errores.
✓
Si $f''(x_0) = 0$ no te bloquees: la tabla de signos de $f'$ siempre concluye — solo es algo más larga.

Errores frecuentes al resolver problemas de optimización que penalizan el corrector ⚠

×
Trabajar con dos variables sin reducir a una (error de planteamiento — quita hasta el 50% del apartado).
×
Olvidar el dominio físico del problema y dar soluciones negativas o fuera de rango.
×
No verificar que el punto crítico es máximo o mínimo (solo $f' = 0$ no es suficiente).
×
No dar las dimensiones finales: el corrector pide la respuesta completa, no solo el $x$ óptimo.
×
Confundir la función objetivo con la restricción y derivar la restricción en lugar de la función a optimizar.

Preguntas frecuentes sobre optimización en PAU 💬

¿Cómo se resuelve un problema de optimización en selectividad PAU?: Cuatro pasos: 1) plantea la función a optimizar y la restricción que liga las variables; 2) reduce la función a una sola variable usando la restricción; 3) deriva, iguala a cero y resuelve para hallar candidatos a extremo dentro del dominio físico; 4) verifica con la 2ª derivada o tabla de signos que es máximo o mínimo. Termina dando las dimensiones finales con interpretación en el contexto.
¿Qué problemas de optimización son más típicos en PAU?: Los clásicos son: rectángulo de área máxima inscrito en un círculo o semicírculo, cilindro de volumen máximo con superficie fija (o viceversa), ventana de Norman con perímetro dado, distancia mínima de un punto a una recta o parábola, coste mínimo de una caja con base cuadrada, y problemas económicos de máximo beneficio. En Madrid abundan los geométricos; en Galicia y C. Valenciana también los económicos.
¿Cuál es el error más penalizado en optimización?: El planteamiento: confundir qué función hay que optimizar y cuál es la restricción, o no expresar la función con una sola variable antes de derivar. También se penaliza con fuerza no verificar que el punto crítico es máximo o mínimo (solo $f' = 0$ no basta) y olvidar el dominio físico del problema (dimensiones negativas).
¿Cuándo se usa la 2ª derivada para comprobar el extremo?: Después de hallar el candidato $x_0$ con $f'(x_0) = 0$ , calcula $f''(x_0)$ . Si es positiva, $x_0$ es mínimo; si es negativa, máximo. Si $f''(x_0) = 0$ el criterio es inconcluso y debes usar la tabla de signos de $f'$ a izquierda y derecha de $x_0$ . La verificación es obligatoria y vale puntos en la corrección.