¿Cómo se calcula la recta tangente a una curva en selectividad?

Calcula f(a) y f'(a) donde a es el punto de tangencia. Sustituye en la fórmula punto-pendiente y - f(a) = f'(a)(x - a) y simplifica. Si te dan la pendiente m (porque la tangente es paralela a una recta), resuelve f'(x) = m para encontrar a, calcula f(a) y aplica la misma fórmula. Si la tangente debe ser horizontal, f'(a) = 0.

¿Cómo se hace el estudio completo de una función?

Sigue este orden: 1) **dominio**, 2) **puntos de corte** con los ejes, 3) **asíntotas** (verticales, horizontales, oblicuas), 4) **derivada f'** para monotonía y extremos, 5) **derivada f''** para curvatura y puntos de inflexión, 6) **gráfica** con todos los datos. Cada paso debe estar justificado por escrito — la PAU valora rigor, no solo el dibujo final.

¿Cuándo hay asíntotas oblicuas?

Solo cuando \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty (es decir, no hay asíntota horizontal en ese infinito). Calcula m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x. Si m existe y es finito no nulo, calcula n = \lim_{x \to \infty}[f(x) - mx]. La asíntota es y = mx + n. Repite por separado para -\infty — pueden ser distintas a ambos lados.

¿Qué diferencia hay entre punto crítico y extremo relativo?

Un **punto crítico** es donde f'(a) = 0 o f' no existe. Un **extremo relativo** es un punto crítico donde f' cambia de signo (de + a − para máximo, de − a + para mínimo) o donde f''(a) \neq 0. No todo punto crítico es extremo: por ejemplo, f(x) = x^3 tiene f'(0) = 0 pero no es extremo, sino punto de inflexión con tangente horizontal.

Derivadas aplicadas (estudio de funciones)

120 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son derivadas aplicadas (estudio de funciones) en selectividad PAU?

Las derivadas aplicadas cubren el uso de

f'

f''

para extraer información de la función: recta tangente y normal en un punto, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos, curvatura (concavidad), puntos de inflexión, asíntotas y la representación gráfica completa. Es el subtema con más ejercicios en la base de datos de PAU (174 problemas) y aparece como pregunta de 1,5-2 puntos en todas las comunidades.

El procedimiento estándar del corrector es: calcular dominio, asíntotas (verticales y horizontales u oblicuas), derivar para hallar puntos críticos, hacer tabla de signos de

f'

(monotonía y extremos), derivar otra vez para curvatura y puntos de inflexión, y dibujar la gráfica con todos los datos. La PAU exige justificar cada paso, no solo dar números. Errores frecuentes: confundir punto crítico con extremo sin verificar el cambio de signo, olvidar comprobar la asíntota oblicua cuando no hay horizontal, o no estudiar el comportamiento en los extremos del dominio. En funciones a trozos, atención adicional a continuidad y derivabilidad en los puntos de empalme.

Fórmulas de derivadas aplicadas (estudio de funciones) en PAU 📋

Recta tangente en

x = a

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

Pregunta directa o paso intermedio. Calcula

f(a)

f'(a)

, sustituye. Si piden la tangente paralela a una recta dada, iguala

f'(x) =

pendiente y despeja

x

Recta normal en

x = a

y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x - a)

La normal es perpendicular a la tangente. Solo válida si

f'(a) \neq 0

— si

f'(a) = 0

, la normal es vertical

x = a

Criterio de la 2ª derivada (extremos)

f'(a) = 0,\ f''(a) > 0 \Rightarrow \min;\quad f'(a) = 0,\ f''(a) < 0 \Rightarrow \max

Para puntos críticos aislados. Si

f''(a) = 0

es inconcluso — usa tabla de signos de

f'

Puntos de inflexión

f''(a) = 0 \text{ y } f'' \text{ cambia de signo en } a

Calcula raíces de

f''

y comprueba cambio de signo. Si

f''

no cambia, NO es punto de inflexión (criterio estricto del corrector).

Asíntota oblicua

y = mx + n

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x},\quad n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]

Solo si no hay asíntota horizontal en ese infinito. Si

m = 0

o no existe, no hay oblicua. Comprueba ambos infinitos (±) por separado.

Cómo resolver derivadas aplicadas (estudio de funciones) paso a paso 📐

1
Calcula el dominio de la función
Descarta denominadores nulos, raíces de índice par con radicando negativo, logaritmos de argumento ≤ 0. El dominio es el primer paso obligatorio y el corrector lo penaliza si falta.
2
Calcula asíntotas (verticales, horizontales, oblicuas)
Verticales: puntos fuera del dominio donde $\lim f = \pm\infty$ . Horizontales: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ . Oblicuas: solo si no hay horizontal — usa las fórmulas $m, n$ . Comprueba ambos infinitos.
3
Deriva $f'$ y resuelve $f'(x) = 0$
Encuentra los puntos críticos (candidatos a extremo). Estudia también los puntos donde $f'$ no existe (fronteras del dominio, vértices de valor absoluto). Construye la tabla de signos de $f'$ .
4
Determina monotonía y extremos relativos
Si $f' > 0$ en un intervalo → $f$ creciente. Si $f' < 0$ → decreciente. Cambio de $+$ a $-$ en un punto crítico → máximo; cambio de $-$ a $+$ → mínimo. Si no hay cambio de signo, no es extremo.
5
Deriva $f''$ para curvatura e inflexión
Si $f'' > 0$ → cóncava hacia arriba (convexa). Si $f'' < 0$ → cóncava hacia abajo. Los puntos de inflexión son donde $f'' = 0$ y cambia de signo. Construye tabla de signos de $f''$ .
6
Representa la gráfica con todos los datos
Dibuja asíntotas, marca cortes con los ejes, puntos críticos (con valor de $f$ ), puntos de inflexión, y une coherentemente respetando monotonía y curvatura. El dibujo vale puntos — no lo omitas.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para derivadas aplicadas (estudio de funciones)? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
En la recta tangente paralela a $y = mx + k$ , plantea $f'(x) = m$ y resuelve. Da los $x$ y a partir de ahí escribe la recta — atajo respecto a probar puntos.
✓
Si $f''(a) = 0$ , el criterio de la 2ª derivada no concluye. Pasa directamente a tabla de signos de $f'$ — ahorra tiempo y no penaliza.
✓
Las asíntotas verticales solo pueden estar en puntos fuera del dominio. Si el dominio es $\mathbb{R}$ , no hay verticales — declara explícitamente y ahorra cálculo.
✓
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \in \mathbb{R}$ → asíntota horizontal $y = L$ en $+\infty$ y no hay oblicua en ese lado. No malgastes tiempo calculándola.
✓
Comprueba los extremos del dominio (frontera): un mínimo puede estar en $x = 0$ si $f$ está definida en $[0, \infty)$ , aunque $f'(0) \neq 0$ .

Errores frecuentes al resolver derivadas aplicadas (estudio de funciones) que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir punto crítico con extremo: $f'(a) = 0$ no implica extremo — hay que comprobar cambio de signo o usar $f''$ .
×
Olvidar la asíntota oblicua cuando $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ y no hay horizontal.
×
No calcular el dominio antes de estudiar la función (penaliza hasta 0,5 puntos del apartado).
×
En puntos de inflexión, dar como solución todos los $x$ con $f''(x) = 0$ sin comprobar cambio de signo (criterio estricto).
×
Dibujar la gráfica ignorando los datos calculados (asíntotas no respetadas, monotonía cruzada).

Preguntas frecuentes sobre derivadas aplicadas (estudio de funciones) en PAU 💬

¿Cómo se calcula la recta tangente a una curva en selectividad?: Calcula $f(a)$ y $f'(a)$ donde $a$ es el punto de tangencia. Sustituye en la fórmula punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ y simplifica. Si te dan la pendiente $m$ (porque la tangente es paralela a una recta), resuelve $f'(x) = m$ para encontrar $a$ , calcula $f(a)$ y aplica la misma fórmula. Si la tangente debe ser horizontal, $f'(a) = 0$ .
¿Cómo se hace el estudio completo de una función?: Sigue este orden: 1) dominio, 2) puntos de corte con los ejes, 3) asíntotas (verticales, horizontales, oblicuas), 4) **derivada $f'$ para monotonía y extremos, 5) derivada $f''$ para curvatura y puntos de inflexión, 6) gráfica** con todos los datos. Cada paso debe estar justificado por escrito — la PAU valora rigor, no solo el dibujo final.
¿Cuándo hay asíntotas oblicuas?: Solo cuando $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ (es decir, no hay asíntota horizontal en ese infinito). Calcula $m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x$ . Si $m$ existe y es finito no nulo, calcula $n = \lim_{x \to \infty}[f(x) - mx]$ . La asíntota es $y = mx + n$ . Repite por separado para $-\infty$ — pueden ser distintas a ambos lados.
¿Qué diferencia hay entre punto crítico y extremo relativo?: Un punto crítico es donde $f'(a) = 0$ o $f'$ no existe. Un extremo relativo es un punto crítico donde $f'$ cambia de signo (de + a − para máximo, de − a + para mínimo) o donde $f''(a) \neq 0$ . No todo punto crítico es extremo: por ejemplo, $f(x) = x^3$ tiene $f'(0) = 0$ pero no es extremo, sino punto de inflexión con tangente horizontal.

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Skate park: punto P y recta tangente al arco

y = f(x)

(a)

Calcula el punto P

(b)

Recta tangente al arco en P

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