¿Cómo se calcula la distancia de un punto a un plano en selectividad?

Se aplica la fórmula d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, donde P = (x_0, y_0, z_0) y el plano \pi está en forma general Ax + By + Cz + D = 0. Si el plano viene en otra forma (paramétrica, vectorial, por tres puntos), conviértelo primero a la general. El valor absoluto en el numerador es OBLIGATORIO: las distancias son siempre positivas.

¿Por qué la distancia entre rectas cruzadas usa el producto mixto?

Porque el producto mixto [\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}] representa el **volumen** del paralelepípedo construido sobre los tres vectores. La distancia entre las rectas cruzadas es la altura de ese paralelepípedo respecto a la base formada por \vec{v_r} y \vec{v_s}. Como volumen = base · altura, la altura (distancia) se obtiene dividiendo el volumen |[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]| entre el área de la base |\vec{v_r}\times\vec{v_s}|. Geometría pura traducida a álgebra.

¿Cuál es la diferencia entre el ángulo entre rectas y el ángulo recta-plano?

Entre **dos rectas** se usa el **coseno** de los directores: \cos\alpha = \frac{|\vec{v_r}\cdot\vec{v_s}|}{|\vec{v_r}|\cdot|\vec{v_s}|}. Entre **recta y plano** se usa el **seno** del director con la normal: \sin\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}. La diferencia es porque el ángulo recta-plano es geométricamente el complementario del ángulo entre el director de la recta y la normal del plano: \alpha_{\text{recta-plano}} + \alpha_{\vec{v},\vec{n}} = \pi/2.

¿Cómo sé si dos rectas son paralelas, secantes o cruzadas en el espacio?

Paso 1: estudia los vectores directores. Si \vec{v_r}\times\vec{v_s} = \vec{0}, los directores son proporcionales → rectas **paralelas o coincidentes** (mira un punto: si pertenece a la otra, coincidentes; si no, paralelas). Paso 2: si los directores NO son proporcionales, calcula el producto mixto [\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}] con A \in r, B \in s. Si vale 0, las rectas son **secantes** (se cortan en un punto). Si no vale 0, son **cruzadas** y se aplica la fórmula de distancia con producto mixto.

Distancias y ángulos en el espacio

32 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son distancias y ángulos en el espacio en selectividad PAU?

Las distancias y ángulos en el espacio son la aplicación métrica de la geometría analítica tridimensional. En la PAU de Matemáticas II aparecen en TODAS las comunidades como apartado complementario de la pregunta de geometría: la primera parte fija una recta o un plano y los apartados siguientes piden distancias (de un punto a un plano, de un punto a una recta, entre dos rectas cruzadas) o ángulos (entre dos rectas, entre dos planos, entre una recta y un plano).

Las herramientas de cálculo son los tres productos vectoriales: el producto escalar

\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha

da los ángulos, el producto vectorial

\vec{u}\times\vec{v}

produce vectores perpendiculares y áreas de paralelogramos, y el producto mixto

[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}

da volúmenes y detecta vectores coplanarios. Las fórmulas de distancia se construyen sistemáticamente a partir de estos tres productos.

El detalle que más penaliza el corrector es el valor absoluto: tanto la distancia punto-plano como la distancia entre rectas cruzadas tienen una expresión que puede ser negativa antes de aplicar

|\cdot|

, y entregar el número con signo invalida geométricamente la respuesta. Otro punto crítico: en los ángulos, el coseno se toma con valor absoluto para garantizar que

\alpha \in [0, \pi/2]

— el ángulo geométrico entre dos rectas es siempre el agudo.

Fórmulas de distancias y ángulos en el espacio en PAU 📋

Distancia de un punto a un plano

d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

El plano debe estar en forma general

Ax + By + Cz + D = 0

. Sustituye las coordenadas de

P = (x_0, y_0, z_0)

en el numerador con valor absoluto. El denominador es el módulo del vector normal

\vec{n} = (A, B, C)

Distancia de un punto a una recta

d(P, r) = \frac{|\vec{v}\times\overrightarrow{AP}|}{|\vec{v}|}

La recta

r

pasa por

A

con vector director

\vec{v}

. Geométricamente: el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo

\vec{v}, \overrightarrow{AP}

; dividiendo por la base

|\vec{v}|

se obtiene la altura, que es la distancia.

Distancia entre dos rectas cruzadas

d(r, s) = \frac{\left|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]\right|}{|\vec{v_r}\times\vec{v_s}|}

Solo aplicable si las rectas son CRUZADAS (no paralelas, no secantes).

A \in r

B \in s

. El numerador es el valor absoluto del producto mixto (volumen del paralelepípedo); el denominador es el área de la base.

Ángulo entre dos rectas

\cos\alpha = \frac{|\vec{v_r}\cdot\vec{v_s}|}{|\vec{v_r}|\cdot|\vec{v_s}|}, \quad \alpha \in [0, \pi/2]

Toma los vectores directores y aplica el coseno con valor absoluto para garantizar ángulo agudo. Si

\vec{v_r}\cdot\vec{v_s} = 0

las rectas son perpendiculares (

\alpha = \pi/2

Ángulo entre dos planos

\cos\alpha = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}

Mismo esquema que con rectas pero usando los vectores normales de los planos. Valor absoluto otra vez para ángulo agudo. Los planos son perpendiculares si

\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 0

Ángulo entre recta y plano (seno)

\sin\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}

OJO: aquí se usa seno, no coseno. El ángulo recta-plano es el complementario del ángulo entre el director y la normal, por eso aparece el seno. Confundirse de fórmula es uno de los errores más típicos en PAU.

Cómo resolver distancias y ángulos en el espacio paso a paso 📐

1
Identifica los elementos: punto, recta, plano
Lee el enunciado y anota qué elementos hay: $P = (x_0, y_0, z_0)$ , recta con punto $A$ y director $\vec{v}$ , plano $Ax+By+Cz+D=0$ . Si los datos están en otra forma (paramétricas, dos puntos), convierte primero a la forma estándar antes de aplicar fórmulas.
2
Elige la fórmula correcta según los elementos
Punto + plano → fórmula de distancia punto-plano. Punto + recta → fórmula con producto vectorial. Dos rectas → primero estudia posición relativa: si son paralelas, aplica punto-recta tomando un punto cualquiera de una y la otra recta; si son cruzadas, aplica producto mixto.
3
Comprueba la posición relativa si hay dos rectas
Calcula $\vec{v_r}\times\vec{v_s}$ . Si es $\vec{0}$ las rectas son paralelas o coincidentes. Si no, calcula el producto mixto $[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]$ : si es 0, son secantes (se cortan, $d = 0$ ); si no es 0, son cruzadas y aplicas la fórmula del producto mixto.
4
Calcula con valor absoluto en el numerador
TODAS las fórmulas de distancia llevan valor absoluto en el numerador. Sustituye, opera el signo del numerador entero, y aplica $|\cdot|$ al resultado. NUNCA dejes un signo negativo en una distancia — geométricamente es imposible.
5
En ángulos, garantiza el ángulo agudo
El coseno (o seno) se calcula con valor absoluto en el numerador para que $\alpha \in [0, \pi/2]$ . El ángulo geométrico entre dos rectas o entre dos planos es siempre agudo por convenio. En recta-plano, recuerda: seno, no coseno.
6
Expresa el resultado en unidades apropiadas
Distancias se dan como número positivo con unidades de longitud (u si el problema no especifica). Ángulos se dan en radianes o grados según pida el enunciado; si no especifica, ambos son válidos. Calcula $\alpha = \arccos(\ldots)$ o $\alpha = \arcsin(\ldots)$ y simplifica si sale un ángulo notable.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para distancias y ángulos en el espacio? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
En distancia punto-plano, si el plano está dado en forma normal o vectorial, conviértelo primero a forma general $Ax+By+Cz+D=0$ . Aplicar la fórmula sin estar en general es una de las trampas más caras del bloque.
✓
Antes de calcular la distancia entre dos rectas, verifica que SON cruzadas con el producto mixto $[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]$ . Si sale 0, son coplanarias (paralelas o secantes) y la fórmula del producto mixto NO aplica. Ahorra ese check explícito y vale 0,25 puntos en muchas CCAAs.
✓
En el ángulo recta-plano usa seno, no coseno — error típico de PAU. Mnemotécnica: el ángulo recta-plano + el ángulo entre el director y la normal suman 90°, por eso el seno de uno equivale al coseno del otro.
✓
Cuando el producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ , los vectores (rectas o normales) son perpendiculares ( $\alpha = \pi/2$ ). Detéctalo antes de calcular el módulo — es un atajo que ahorra todo el cociente.
✓
Si la distancia involucra puntos con coordenadas grandes, simplifica el plano dividiendo $(A, B, C, D)$ por un factor común antes de sustituir. El resultado es el mismo y reduce errores aritméticos.

Errores frecuentes al resolver distancias y ángulos en el espacio que penalizan el corrector ⚠

×
Olvidar el valor absoluto en el numerador de la distancia punto-plano: entregar un número con signo invalida geométricamente el resultado (penaliza hasta el 50% del apartado).
×
En el ángulo recta-plano, usar coseno en vez de seno: el ángulo recta-plano es el complementario del ángulo entre el director y la normal, por eso se usa seno.
×
Aplicar la fórmula de distancia entre rectas cruzadas sin comprobar antes que las rectas son efectivamente cruzadas (si son paralelas o secantes, la fórmula da resultados absurdos o cero engañoso).
×
Confundir el vector normal del plano con el director: en distancias y ángulos punto-plano se usa $\vec{n} = (A, B, C)$ ; en recta-plano se cruzan $\vec{v}$ (director de la recta) con $\vec{n}$ (normal del plano).
×
No simplificar el plano a forma general antes de aplicar la fórmula: si se sustituye en un plano dado en forma vectorial o paramétrica, el numerador y denominador salen mal.

Preguntas frecuentes sobre distancias y ángulos en el espacio en PAU 💬

¿Cómo se calcula la distancia de un punto a un plano en selectividad?: Se aplica la fórmula $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , donde $P = (x_0, y_0, z_0)$ y el plano $\pi$ está en forma general $Ax + By + Cz + D = 0$ . Si el plano viene en otra forma (paramétrica, vectorial, por tres puntos), conviértelo primero a la general. El valor absoluto en el numerador es OBLIGATORIO: las distancias son siempre positivas.
¿Por qué la distancia entre rectas cruzadas usa el producto mixto?: Porque el producto mixto $[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]$ representa el volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores. La distancia entre las rectas cruzadas es la altura de ese paralelepípedo respecto a la base formada por $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ . Como volumen = base · altura, la altura (distancia) se obtiene dividiendo el volumen $|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]|$ entre el área de la base $|\vec{v_r}\times\vec{v_s}|$ . Geometría pura traducida a álgebra.
¿Cuál es la diferencia entre el ángulo entre rectas y el ángulo recta-plano?: Entre dos rectas se usa el coseno de los directores: $\cos\alpha = \frac{|\vec{v_r}\cdot\vec{v_s}|}{|\vec{v_r}|\cdot|\vec{v_s}|}$ . Entre recta y plano se usa el seno del director con la normal: $\sin\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}$ . La diferencia es porque el ángulo recta-plano es geométricamente el complementario del ángulo entre el director de la recta y la normal del plano: $\alpha_{\text{recta-plano}} + \alpha_{\vec{v},\vec{n}} = \pi/2$ .
¿Cómo sé si dos rectas son paralelas, secantes o cruzadas en el espacio?: Paso 1: estudia los vectores directores. Si $\vec{v_r}\times\vec{v_s} = \vec{0}$ , los directores son proporcionales → rectas paralelas o coincidentes (mira un punto: si pertenece a la otra, coincidentes; si no, paralelas). Paso 2: si los directores NO son proporcionales, calcula el producto mixto $[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \overrightarrow{AB}]$ con $A \in r$ , $B \in s$ . Si vale 0, las rectas son secantes (se cortan en un punto). Si no vale 0, son cruzadas y se aplica la fórmula de distancia con producto mixto.

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\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + y - z = 4 \\ mx + y + 3z = 6 \\ x - 2x = m \end{cases}

Valor de m para intersección en un punto y hallar dicho punto

Distancia de una recta a un plano

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