¿Cuál es la diferencia entre producto escalar, vectorial y mixto?

El **producto escalar** \vec{u}\cdot\vec{v} devuelve un **número** y mide cuán paralelos son dos vectores (es 0 si son perpendiculares). El **producto vectorial** \vec{u}\times\vec{v} devuelve un **vector** perpendicular a ambos, cuyo módulo es el área del paralelogramo (es \vec{0} si son paralelos). El **producto mixto** [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] devuelve un **número** cuyo valor absoluto es el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores (es 0 si son coplanarios). Cada producto resuelve un tipo de problema geométrico distinto.

¿Cómo se calcula el producto vectorial paso a paso?

Se plantea como un determinante 3\times 3 simbólico: la primera fila son los vectores \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} y las otras dos las coordenadas de \vec{u} y \vec{v}. Se desarrolla por adjuntos de la primera fila: \vec{u}\times\vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2)\vec{i} - (u_1 v_3 - u_3 v_1)\vec{j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\vec{k}. OJO al signo menos de la componente \vec{j}. Después se verifica que el resultado es perpendicular a los dos vectores originales con productos escalares.

¿Cómo se halla el área de un triángulo en el espacio dados sus tres vértices?

Sean A, B, C los vértices. Construye dos vectores desde un mismo vértice (por ejemplo, \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}). Calcula su producto vectorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} y toma el módulo. El área del triángulo es la mitad: A_\triangle = \tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|. Es uno de los problemas más frecuentes en PAU — el factor \tfrac{1}{2} es lo que distingue triángulo de paralelogramo.

¿Cómo se comprueba que tres vectores son coplanarios?

Tres vectores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} son **coplanarios** (están en un mismo plano) si y solo si son **linealmente dependientes**, lo que equivale a que su **producto mixto sea cero**: [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 0. En la práctica se calcula el determinante 3\times 3 con sus coordenadas: si vale 0, son coplanarios; si no, generan un paralelepípedo de volumen no nulo y por tanto no están en un mismo plano. Es la forma más rápida y aceptada por el corrector.

Vectores (operaciones, productos escalar/vectorial/mixto)

80 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son vectores (operaciones, productos escalar/vectorial/mixto) en selectividad PAU?

Un vector en el espacio

\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)

es un elemento de

\mathbb{R}^3

que codifica una dirección, un sentido y un módulo. En la PAU de Matemáticas II los vectores aparecen como base de toda la geometría analítica tridimensional: sin dominar las operaciones vectoriales no se pueden manipular rectas ni planos.

Los tres productos vectoriales son las herramientas clave del bloque. El producto escalar

\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3

devuelve un número y se usa para calcular ángulos (vía

\cos\alpha = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}

) y proyecciones de un vector sobre otro. El producto vectorial

\vec{u}\times\vec{v}

devuelve un vector perpendicular a ambos, cuyo módulo es el área del paralelogramo que determinan (

|\vec{u}\times\vec{v}|

). Se calcula como un determinante simbólico

3\times 3

. El producto mixto

[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})

devuelve un escalar cuyo valor absoluto es el volumen del paralelepípedo generado por los tres vectores, y vale

0

si los tres son coplanarios (linealmente dependientes).

El corrector valora especialmente que se distinga qué producto resuelve qué problema geométrico: ángulos → escalar; perpendicular común y áreas → vectorial; volúmenes y coplanaridad → mixto. Confundirlos invalida la justificación aunque el cálculo numérico salga bien.

Fórmulas de vectores (operaciones, productos escalar/vectorial/mixto) en PAU 📋

Producto escalar (definición analítica y geométrica)

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha

Para calcular el ángulo entre dos vectores (despejando

\cos\alpha

), comprobar perpendicularidad (

\vec{u}\cdot\vec{v} = 0

) o hallar la proyección de

\vec{u}

sobre

\vec{v}

Producto vectorial (determinante simbólico)

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}

Para hallar un vector perpendicular a

\vec{u}

\vec{v}

a la vez (vector normal de un plano, perpendicular común a dos rectas). El resultado es un vector, NO un escalar.

Módulo del producto vectorial (área)

|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\alpha

El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por

\vec{u}

\vec{v}

. El área del triángulo asociado es la mitad:

A_\triangle = \tfrac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|

Producto mixto (volumen del paralelepípedo)

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}

Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. El volumen del tetraedro asociado es

V_T = \tfrac{1}{6}|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|

Coplanaridad (criterio)

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0 \iff \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} \text{ son coplanarios}

Cuando los tres vectores son linealmente dependientes (uno es combinación lineal de los otros dos), su producto mixto se anula. Equivale a que el determinante de coordenadas valga 0.

Ángulo entre dos vectores

\cos\alpha = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}

Para hallar el ángulo geométrico entre dos vectores. OJO: el ángulo es siempre el menor, entre

0

\pi

. Si

\cos\alpha < 0

, el ángulo es obtuso pero sigue siendo el ángulo del problema.

Cómo resolver vectores (operaciones, productos escalar/vectorial/mixto) paso a paso 📐

1
Identifica qué producto pide el problema
Lee el enunciado: ¿pide ángulo o perpendicularidad? → escalar. ¿Pide vector perpendicular o área? → vectorial. ¿Pide volumen o comprobar coplanaridad? → mixto. La elección correcta del producto es lo primero que valora el corrector.
2
Calcula el producto numérico
Aplica la fórmula analítica: escalar = $u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$ ; vectorial = desarrollo del determinante $3\times 3$ simbólico; mixto = determinante numérico $3\times 3$ . Cuida los signos en el desarrollo por adjuntos del producto vectorial.
3
Si es producto vectorial, verifica perpendicularidad
El resultado $\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}$ debe cumplir $\vec{w}\cdot\vec{u} = 0$ y $\vec{w}\cdot\vec{v} = 0$ . Es una verificación rápida que detecta errores aritméticos al desarrollar el determinante.
4
Aplica la interpretación geométrica
Si el problema pide área: $A = |\vec{u}\times\vec{v}|$ (paralelogramo) o $\tfrac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|$ (triángulo). Si pide volumen: $V = |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|$ (paralelepípedo) o $\tfrac{1}{6}|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|$ (tetraedro). Si pide ángulo: $\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right)$ .
5
Si el escalar/mixto da 0, interpreta correctamente
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ significa que los vectores son perpendiculares (si ninguno es nulo). $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 0$ significa que los tres vectores son coplanarios (linealmente dependientes). Indica explícitamente esta interpretación geométrica en la solución.
6
Da unidades y verifica el orden de magnitud
Áreas en u², volúmenes en u³. Comprueba que el resultado es positivo (área y volumen son magnitudes positivas — por eso el valor absoluto en el producto mixto). Si el problema da datos en coordenadas pequeñas y sale un volumen absurdamente grande, revisa el cálculo.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para vectores (operaciones, productos escalar/vectorial/mixto)? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
El producto vectorial es antisimétrico: $\vec{u}\times\vec{v} = -(\vec{v}\times\vec{u})$ . Si te equivocas en el orden y todos los signos están al revés, basta con cambiar el signo global.
✓
Para detectar rápidamente la coplanaridad de tres vectores, calcula el determinante de sus coordenadas. Si es $0$ , son coplanarios y no generan volumen — ahorras todo el cálculo de mixto.
✓
El área del triángulo con vértices $A, B, C$ es $\tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ . Es una de las preguntas más recurrentes: aprende a montar los dos vectores desde un vértice común.
✓
El volumen del tetraedro con vértices $A, B, C, D$ es $\tfrac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|$ . Igual que el triángulo pero en 3D, con tres vectores desde el mismo vértice.
✓
Si el problema pide un vector perpendicular a dos vectores dados, el producto vectorial es la única forma sistemática. Cualquier otro método (sistema de ecuaciones con $\vec{w}\cdot\vec{u} = 0, \vec{w}\cdot\vec{v} = 0$ ) es más largo y propenso a errores.

Errores frecuentes al resolver vectores (operaciones, productos escalar/vectorial/mixto) que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir producto escalar (devuelve número) con producto vectorial (devuelve vector). Escribir " $\vec{u}\cdot\vec{v} = (3, -1, 2)$ " o " $\vec{u}\times\vec{v} = 7$ " es un error de concepto que penaliza el apartado entero.
×
Olvidar el signo alterno $(-1)^{i+j}$ en el desarrollo del determinante simbólico del producto vectorial — produce un vector con componentes con signo erróneo (suele invertirse la componente $\vec{j}$ ).
×
Tomar el producto mixto sin valor absoluto como volumen: $V = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ puede ser negativo, pero el volumen geométrico es siempre $V = |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|$ .
×
Calcular el área del triángulo sin dividir entre 2: $A_\triangle = \tfrac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|$ , no $|\vec{u}\times\vec{v}|$ (eso es el paralelogramo).
×
Confundir coplanaridad de vectores (producto mixto $= 0$ ) con paralelismo de vectores (producto vectorial $= \vec{0}$ ). Son condiciones distintas — la primera es más débil.

Preguntas frecuentes sobre vectores (operaciones, productos escalar/vectorial/mixto) en PAU 💬

¿Cuál es la diferencia entre producto escalar, vectorial y mixto?: El producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ devuelve un número y mide cuán paralelos son dos vectores (es 0 si son perpendiculares). El producto vectorial $\vec{u}\times\vec{v}$ devuelve un vector perpendicular a ambos, cuyo módulo es el área del paralelogramo (es $\vec{0}$ si son paralelos). El producto mixto $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ devuelve un número cuyo valor absoluto es el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores (es 0 si son coplanarios). Cada producto resuelve un tipo de problema geométrico distinto.
¿Cómo se calcula el producto vectorial paso a paso?: Se plantea como un determinante $3\times 3$ simbólico: la primera fila son los vectores $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ y las otras dos las coordenadas de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ . Se desarrolla por adjuntos de la primera fila: $\vec{u}\times\vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2)\vec{i} - (u_1 v_3 - u_3 v_1)\vec{j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\vec{k}$ . OJO al signo menos de la componente $\vec{j}$ . Después se verifica que el resultado es perpendicular a los dos vectores originales con productos escalares.
¿Cómo se halla el área de un triángulo en el espacio dados sus tres vértices?: Sean $A, B, C$ los vértices. Construye dos vectores desde un mismo vértice (por ejemplo, $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ ). Calcula su producto vectorial $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ y toma el módulo. El área del triángulo es la mitad: $A_\triangle = \tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ . Es uno de los problemas más frecuentes en PAU — el factor $\tfrac{1}{2}$ es lo que distingue triángulo de paralelogramo.
¿Cómo se comprueba que tres vectores son coplanarios?: Tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ son coplanarios (están en un mismo plano) si y solo si son linealmente dependientes, lo que equivale a que su producto mixto sea cero: $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 0$ . En la práctica se calcula el determinante $3\times 3$ con sus coordenadas: si vale 0, son coplanarios; si no, generan un paralelepípedo de volumen no nulo y por tanto no están en un mismo plano. Es la forma más rápida y aceptada por el corrector.

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80 de 308

Extremadura·Extraordinaria 2025·Pregunta 5

Puntos en el espacio

A = (1, 2, 3)

¿Están

A

B

C

alineados?

Halla un vector que sea ortogonal a

\vec{AB}

\vec{AC}

, y de módulo

\sqrt{2}

Halla el punto simétrico del punto

A

respecto del punto

B

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