¿Cómo se obtiene la ecuación de un plano que contiene tres puntos dados?

Sean A, B, C los tres puntos no alineados. Construye dos vectores directores del plano: \vec{u} = \overrightarrow{AB} y \vec{v} = \overrightarrow{AC}. El **vector normal** del plano es su producto vectorial: \vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}. La ecuación general es n_1(x - x_A) + n_2(y - y_A) + n_3(z - z_A) = 0, que se desarrolla a Ax + By + Cz + D = 0. Verifica al final que los otros dos puntos (B y C) también cumplen la ecuación.

¿Cómo se discuten las posiciones relativas de dos rectas en el espacio?

Hay cuatro posibilidades: **coincidentes** (misma recta), **paralelas no coincidentes** (no se cortan, mismo "rumbo"), **secantes** (se cortan en un punto), o **se cruzan** (no se cortan ni son paralelas). El método sistemático: compara los directores \vec{v_1}, \vec{v_2} — si son proporcionales, la recta es coincidente o paralela (comprueba un punto). Si no lo son, monta el sistema con las cuatro ecuaciones implícitas: si tiene solución única, secantes; si es incompatible, se cruzan. Alternativamente, calcula el producto mixto [\vec{v_1}, \vec{v_2}, \overrightarrow{P_1 P_2}] — si vale 0, se cortan (secantes); si no, se cruzan.

¿Qué es el vector normal de un plano y cómo se obtiene?

El **vector normal** \vec{n} de un plano \pi es un vector **perpendicular** a todos los vectores contenidos en \pi. Se obtiene de tres formas: (1) si la ecuación general es Ax + By + Cz + D = 0, entonces \vec{n} = (A, B, C) directamente; (2) si se conocen dos vectores directores \vec{u}, \vec{v} del plano, \vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}; (3) si se conocen tres puntos A, B, C del plano, \vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. El normal es la pieza clave para distancias punto-plano, ángulos plano-plano y posiciones relativas.

¿Cómo se halla el punto de corte entre una recta y un plano?

Toma la **paramétrica** de la recta: x = x_0 + tv_1, y = y_0 + tv_2, z = z_0 + tv_3. Sustituye esas expresiones en la **ecuación general del plano** Ax + By + Cz + D = 0. Queda una ecuación lineal en t. Resuelve t y sustituye en la paramétrica de la recta — esas son las coordenadas del punto de corte. Si la ecuación en t es incompatible (tipo 0 = 5), la recta es paralela al plano; si es indeterminada (tipo 0 = 0), la recta está contenida en el plano.

Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas

205 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas en selectividad PAU?

Las rectas y planos en el espacio son los objetos centrales de la geometría analítica tridimensional. En la PAU de Matemáticas II es el subtema con mayor número de problemas: 274 ejercicios históricos en la base de datos de selectividad.academy. Aparece en TODAS las CCAAs y, junto con vectores, conforma el bloque más grande del examen.

Una recta

r

\mathbb{R}^3

queda determinada por un punto

P_0 = (x_0, y_0, z_0)

y un vector director

\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)

paralelo a ella. Tiene cuatro formas equivalentes de expresión: vectorial

\vec{r} = P_0 + t\vec{v}

, paramétrica (igualdad componente a componente con parámetro

t

), continua

\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}

, e implícita como intersección de dos planos. Un plano

\pi

queda determinado por un punto y un vector normal

\vec{n} = (A, B, C)

perpendicular a él: su ecuación general es

Ax + By + Cz + D = 0

.

El núcleo del subtema es la discusión de posiciones relativas entre objetos: dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o cruzarse; recta y plano pueden ser contenida, paralela o secante; dos planos pueden ser coincidentes, paralelos o secantes. La discusión se hace por rangos (Rouché-Frobenius aplicado a la matriz del sistema) o por productos vectoriales (paralelismo entre directores/normales). El error que más penaliza el corrector es confundir el vector director de una recta con el vector normal de un plano: una recta paralela a un plano cumple

\vec{v}\cdot\vec{n} = 0

(director y normal perpendiculares), NO

\vec{v}\times\vec{n} = \vec{0}

Fórmulas de rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas en PAU 📋

Recta — ecuación vectorial / paramétrica

\vec{r}: (x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t(v_1, v_2, v_3), \quad t \in \mathbb{R}

Forma estándar a partir de un punto

P_0

y un vector director

\vec{v}

. La paramétrica desglosa coordenada a coordenada:

x = x_0 + tv_1, y = y_0 + tv_2, z = z_0 + tv_3

Recta — ecuación continua

\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

Despeja el parámetro

t

de la paramétrica. Útil para problemas geométricos. CUIDADO: si alguna

v_i = 0

, esa coordenada queda fija (

x = x_0

, por ejemplo) y la continua se escribe en dos bloques.

Plano — ecuación general

\pi: Ax + By + Cz + D = 0, \quad \vec{n} = (A, B, C)

Forma estándar. Los **coeficientes de

x, y, z

son las componentes del vector normal**

\vec{n}

. Para hallar

D

, sustituye un punto conocido del plano.

Plano — ecuación vectorial / paramétrica

\vec{\pi}: (x, y, z) = P_0 + s\vec{u} + t\vec{v}, \quad s, t \in \mathbb{R}

Cuando se conocen un punto y dos vectores directores del plano (no paralelos). Para pasar a general, el normal es

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}

Posiciones relativas recta-plano

\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \;\Leftrightarrow\; r \parallel \pi \;\text{o}\; r \subset \pi

Si el director de la recta y el normal del plano son perpendiculares, la recta es paralela al plano o está contenida en él (depende de si un punto de

r

verifica la ecuación de

\pi

). Si

\vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0

, la recta corta al plano en un punto.

Discusión por rangos (Rouché-Frobenius)

\text{rg}(M) \;\text{vs.}\; \text{rg}(M|b) \;\Rightarrow\; \text{posición relativa}

Para sistemas formados por las ecuaciones implícitas de los objetos. Compatible determinado → 1 punto de corte (rectas secantes, recta-plano secante). Compatible indeterminado → infinitas soluciones (coincidentes o recta dentro de plano). Incompatible → no se cortan (paralelos o se cruzan).

Cómo resolver rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas paso a paso 📐

1
Identifica datos: punto + director (recta) o punto + normal (plano)
Lo primero es saber qué tipo de objeto te dan y en qué forma. Recta requiere un punto y un vector director $\vec{v}$ ; plano requiere un punto y un vector normal $\vec{n}$ (o dos directores). Si te dan dos puntos de la recta, el director es $\vec{v} = \overrightarrow{P_1 P_2}$ .
2
Pasa entre formas equivalentes si hace falta
Paramétrica → continua: despeja $t$ . Continua → implícita: iguala los cocientes dos a dos. Implícita → paramétrica: resuelve el sistema con un parámetro libre. Plano vectorial → general: $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ . Domina las cuatro conversiones.
3
Para posiciones relativas, monta el sistema
Reúne todas las ecuaciones implícitas de los objetos (dos planos por cada recta + el plano si aplica). Calcula el rango de la matriz de coeficientes $M$ y de la matriz ampliada $(M | b)$ .
4
Aplica Rouché-Frobenius y traduce a posición geométrica
Compara los rangos: $\text{rg}(M) = \text{rg}(M|b) = n$ (incógnitas) → punto único (secantes). $= \text{rg}(M|b) < n$ → infinitos puntos (coincidentes o recta en plano). $\text{rg}(M) < \text{rg}(M|b)$ → sin solución (paralelos o se cruzan).
5
Alternativa: discusión por productos vectoriales
Comprueba paralelismo de directores: dos rectas paralelas tienen $\vec{v}\times\vec{w} = \vec{0}$ ; dos planos paralelos tienen $\vec{n_1}\times\vec{n_2} = \vec{0}$ . Después comprueba si un punto de un objeto pertenece al otro para distinguir coincidente/paralelo (o paralela/contenida).
6
Justifica geométricamente la conclusión
No basta con dar la posición — el corrector espera la justificación ("como $\text{rg}(M) = 2 < 3 = \text{rg}(M|b)$ , el sistema es incompatible y los planos son paralelos no coincidentes"). En CCAAs con criterios estrictos (PV, CyL) esta justificación vale hasta 0,5 puntos.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Una recta como intersección de dos planos se convierte en paramétrica resolviendo el sistema con un parámetro libre. Suele ser más rápido despejar $z = t$ y expresar $x, y$ en función de $t$ .
✓
El vector normal del plano se lee directamente de los coeficientes de $x, y, z$ en la ecuación general. Si tienes $2x - 3y + z + 5 = 0$ , $\vec{n} = (2, -3, 1)$ sin más cálculo.
✓
Para hallar el plano que contiene una recta y un punto exterior: toma el director $\vec{v}$ de la recta + un punto $P_0$ de la recta + el punto exterior $Q$ . El normal es $\vec{n} = \vec{v}\times\overrightarrow{P_0 Q}$ .
✓
Para hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan: el vector director de esa perpendicular es $\vec{w} = \vec{v_1}\times\vec{v_2}$ (producto vectorial de los directores). Aparece en problemas avanzados.
✓
Cuando hay parámetro $m$ en el sistema, calcula primero el determinante de la matriz de coeficientes en función de $m$ . Los valores que lo anulan son los valores críticos donde cambia la posición relativa — estúdialos uno a uno.

Errores frecuentes al resolver rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir vector director $\vec{v}$ (paralelo a la recta) con vector normal $\vec{n}$ (perpendicular al plano). Una recta paralela a un plano cumple $\vec{v}\cdot\vec{n} = 0$ , NO $\vec{v}\times\vec{n} = \vec{0}$ (esto último diría que son paralelos como vectores, es decir, recta perpendicular al plano).
×
En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$ , dividir por una componente del director igual a cero: si $v_2 = 0$ no se puede escribir la fracción correspondiente — hay que poner $y = y_0$ aparte.
×
En la discusión por rangos, olvidar la matriz ampliada y concluir solo con el rango de coeficientes. Sin comparar ambos rangos no se puede aplicar Rouché-Frobenius y la conclusión queda sin justificación.
×
Distinguir mal entre rectas paralelas (directores proporcionales, no se cortan, pero están en el mismo plano) y rectas que se cruzan (directores no proporcionales, no se cortan y NO están en un mismo plano). Ambas son sistemas incompatibles, pero la diferencia está en el rango de la matriz de coeficientes.
×
Olvidar que un punto debe verificar la ecuación implícita: para comprobar si $P$ está en el plano $Ax + By + Cz + D = 0$ , sustituye las coordenadas de $P$ y verifica que la ecuación se cumple. No basta con que el vector $\overrightarrow{P_0 P}$ sea director — se necesita además que pertenezca al plano.

Preguntas frecuentes sobre rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas en PAU 💬

¿Cómo se obtiene la ecuación de un plano que contiene tres puntos dados?: Sean $A, B, C$ los tres puntos no alineados. Construye dos vectores directores del plano: $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ y $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ . El vector normal del plano es su producto vectorial: $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ . La ecuación general es $n_1(x - x_A) + n_2(y - y_A) + n_3(z - z_A) = 0$ , que se desarrolla a $Ax + By + Cz + D = 0$ . Verifica al final que los otros dos puntos ( $B$ y $C$ ) también cumplen la ecuación.
¿Cómo se discuten las posiciones relativas de dos rectas en el espacio?: Hay cuatro posibilidades: coincidentes (misma recta), paralelas no coincidentes (no se cortan, mismo "rumbo"), secantes (se cortan en un punto), o se cruzan (no se cortan ni son paralelas). El método sistemático: compara los directores $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ — si son proporcionales, la recta es coincidente o paralela (comprueba un punto). Si no lo son, monta el sistema con las cuatro ecuaciones implícitas: si tiene solución única, secantes; si es incompatible, se cruzan. Alternativamente, calcula el producto mixto $[\vec{v_1}, \vec{v_2}, \overrightarrow{P_1 P_2}]$ — si vale 0, se cortan (secantes); si no, se cruzan.
¿Qué es el vector normal de un plano y cómo se obtiene?: El vector normal $\vec{n}$ de un plano $\pi$ es un vector perpendicular a todos los vectores contenidos en $\pi$ . Se obtiene de tres formas: (1) si la ecuación general es $Ax + By + Cz + D = 0$ , entonces $\vec{n} = (A, B, C)$ directamente; (2) si se conocen dos vectores directores $\vec{u}, \vec{v}$ del plano, $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ ; (3) si se conocen tres puntos $A, B, C$ del plano, $\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ . El normal es la pieza clave para distancias punto-plano, ángulos plano-plano y posiciones relativas.
¿Cómo se halla el punto de corte entre una recta y un plano?: Toma la paramétrica de la recta: $x = x_0 + tv_1, y = y_0 + tv_2, z = z_0 + tv_3$ . Sustituye esas expresiones en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ . Queda una ecuación lineal en $t$ . Resuelve $t$ y sustituye en la paramétrica de la recta — esas son las coordenadas del punto de corte. Si la ecuación en $t$ es incompatible (tipo $0 = 5$ ), la recta es paralela al plano; si es indeterminada (tipo $0 = 0$ ), la recta está contenida en el plano.

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