¿Cómo se estudia la continuidad de una función a trozos?

Solo importa estudiar los **puntos de cambio** de definición y los puntos donde el dominio interno de cada rama tenga problemas (denominadores nulos, etc.). En cada punto crítico, calcula los dos límites laterales usando la rama que corresponde a cada lado, compara con f(x_0) y aplica la definición. Si los tres valores coinciden, es continua; si no, clasifica la discontinuidad.

¿Qué tipos de discontinuidad existen y cómo se diferencian?

Hay tres tipos: **evitable** (los laterales coinciden con un valor L pero L \neq f(x_0) o f(x_0) no existe — se puede "arreglar" redefiniendo f), **de salto finito** (los laterales existen, son finitos y distintos — la función "salta" de L_1 a L_2), y **asintótica o esencial** (algún lateral es \pm\infty o no existe — produce una asíntota vertical).

¿Cómo se calcula el valor del parámetro para que una función sea continua?

Identifica el o los puntos de cambio de la función a trozos. Plantea la ecuación de continuidad: \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0). Sustituye las expresiones que dependen del parámetro y despeja. Si hay dos parámetros, normalmente te dan dos puntos donde imponer continuidad → sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

¿Por qué es importante la continuidad para aplicar el Teorema de Bolzano?

El Teorema de Bolzano exige como **primera hipótesis** que la función sea continua en el intervalo cerrado [a,b]. Sin continuidad puede haber un "salto" que evite que la función pase por el cero pese a tener signos opuestos en los extremos. Por eso en cualquier ejercicio de Bolzano la primera tarea es justificar la continuidad (suele ser inmediata si f es polinómica, exponencial, etc.).

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Continuidad de funciones

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué es la continuidad de funciones en selectividad PAU?

Una función

f

es continua en un punto

x_0

si se cumplen tres condiciones simultáneamente: (1)

f(x_0)

está definida, (2)

\lim_{x \to x_0} f(x)

existe, y (3)

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

. Si falla alguna, hay una discontinuidad que hay que clasificar.

En selectividad PAU la continuidad aparece sobre todo en dos contextos: estudiar la continuidad de una función definida a trozos (con o sin parámetro a determinar) y aplicar el Teorema de Bolzano (que exige continuidad en

[a,b]

). Las discontinuidades se clasifican en tres tipos: evitable (los límites laterales coinciden pero difieren de

f(x_0)

f(x_0)

no está definida), de salto finito (los laterales existen pero son distintos y finitos) y esencial o asintótica (algún lateral es infinito o no existe).

El corrector espera que la justificación siga las tres condiciones de la definición, en orden, escribiendo explícitamente "para que

f

sea continua en

x_0

se debe cumplir...". Saltarse este formato es un error frecuente que descuenta puntos aunque el resultado numérico sea correcto. En problemas con parámetro, la estrategia es plantear la ecuación que iguala los laterales y despejar.

Fórmulas de continuidad de funciones en PAU 📋

Definición de continuidad en un punto

f \text{ continua en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

Las tres condiciones de continuidad colapsan en esta igualdad. Es la definición operativa que se usa en el 95% de los ejercicios PAU.

Discontinuidad evitable

\exists \lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \text{pero } L \neq f(x_0) \text{ o } f(x_0) \text{ no definida}

Se "evita" redefiniendo

f(x_0) = L

. Caso típico: cocientes con factor común que se cancela.

Discontinuidad de salto finito

\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1,\ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2,\ L_1 \neq L_2 \text{ (ambos finitos)}

Los laterales existen y son finitos pero distintos. Típico de funciones a trozos mal "ajustadas". Salto

= |L_2 - L_1|

Discontinuidad asintótica (esencial)

\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{o} \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty

Algún lateral es infinito. Genera una asíntota vertical

x = x_0

. Frecuente en racionales y logaritmos.

Continuidad y operaciones

f,g \text{ continuas} \Rightarrow f \pm g,\ f \cdot g,\ \tfrac{f}{g} \ (g \neq 0),\ f \circ g \text{ continuas}

Toda función elemental (polinómica, exponencial, logarítmica, trigonométrica) es continua en su dominio. Argumento para problemas teóricos.

Cómo resolver problemas de continuidad de funciones paso a paso 📐

1
Identifica los puntos "candidatos" a discontinuidad
Para racionales: puntos donde se anula el denominador. Para a trozos: puntos de cambio de definición. Para radicales/logaritmos: bordes del dominio. Para valor absoluto: puntos donde el argumento se anula. No estudies la continuidad punto a punto en todo el dominio — solo en los candidatos.
2
Comprueba si $f(x_0)$ está definida
Sustituye $x = x_0$ en la rama correspondiente. Si la función no está definida en $x_0$ , ya hay discontinuidad (evitable o esencial según el límite).
3
Calcula los límites laterales
$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ usando la rama de la izquierda y $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ usando la rama de la derecha. En a trozos, atiende qué rama corresponde a cada lado del punto.
4
Compara los tres valores y clasifica
Si $L_1 = L_2 = f(x_0)$ → continua. Si $L_1 = L_2 \neq f(x_0)$ → evitable. Si $L_1 \neq L_2$ ambos finitos → salto. Si alguno es $\pm\infty$ → asintótica/esencial. Indica el tipo explícitamente — el corrector lo exige.
5
Si hay parámetro, plantea la ecuación de continuidad
Iguala $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ y despeja el parámetro. Si hay dos parámetros, suelen darte continuidad en dos puntos → sistema de dos ecuaciones.
6
Concluye con una frase formal
" $f$ es continua en $x_0$ " o " $f$ presenta una discontinuidad evitable/de salto/asintótica en $x_0$ ". Si la función es continua en todo $\mathbb{R}$ , indícalo explícitamente. Esta conclusión vale ~0,25 puntos.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la continuidad de funciones? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
En funciones definidas a trozos sin parámetro, lo único interesante es el punto de cambio: no pierdas tiempo estudiando el resto del dominio.
✓
Si todas las ramas son polinómicas o exponenciales, son continuas en su dominio por defecto — basta con estudiar los puntos de empalme.
✓
Para problemas con dos parámetros, monta el sistema $2 \times 2$ desde el principio: igualar laterales en cada punto de cambio da una ecuación por punto.
✓
Si en el examen aparece "estudia la continuidad y clasifica las discontinuidades", dedica al menos 2 líneas a la clasificación: olvidarlo descuenta hasta 0,5 puntos.
✓
Si el enunciado pregunta "¿es continua en $\mathbb{R}$ ?", basta con identificar un solo punto de discontinuidad para responder NO.

Errores frecuentes al resolver problemas de continuidad de funciones que penalizan el corrector ⚠

×
Olvidar comprobar que $f(x_0)$ está definida (la tercera condición de continuidad).
×
Usar la misma rama de la función para calcular ambos límites laterales en una función a trozos — cada lateral usa SU rama.
×
No clasificar el tipo de discontinuidad cuando el enunciado lo pide.
×
Confundir discontinuidad evitable con asintótica: la evitable requiere que el límite exista y sea finito; la asintótica tiene algún lateral infinito.
×
En problemas con parámetro, despejar solo igualando $\lim^-$ y $\lim^+$ sin verificar también que coincide con $f(x_0)$ .

Preguntas frecuentes sobre continuidad de funciones en PAU 💬

¿Cómo se estudia la continuidad de una función a trozos?: Solo importa estudiar los puntos de cambio de definición y los puntos donde el dominio interno de cada rama tenga problemas (denominadores nulos, etc.). En cada punto crítico, calcula los dos límites laterales usando la rama que corresponde a cada lado, compara con $f(x_0)$ y aplica la definición. Si los tres valores coinciden, es continua; si no, clasifica la discontinuidad.
¿Qué tipos de discontinuidad existen y cómo se diferencian?: Hay tres tipos: evitable (los laterales coinciden con un valor $L$ pero $L \neq f(x_0)$ o $f(x_0)$ no existe — se puede "arreglar" redefiniendo $f$ ), de salto finito (los laterales existen, son finitos y distintos — la función "salta" de $L_1$ a $L_2$ ), y asintótica o esencial (algún lateral es $\pm\infty$ o no existe — produce una asíntota vertical).
¿Cómo se calcula el valor del parámetro para que una función sea continua?: Identifica el o los puntos de cambio de la función a trozos. Plantea la ecuación de continuidad: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ . Sustituye las expresiones que dependen del parámetro y despeja. Si hay dos parámetros, normalmente te dan dos puntos donde imponer continuidad → sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
¿Por qué es importante la continuidad para aplicar el Teorema de Bolzano?: El Teorema de Bolzano exige como primera hipótesis que la función sea continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Sin continuidad puede haber un "salto" que evite que la función pase por el cero pese a tener signos opuestos en los extremos. Por eso en cualquier ejercicio de Bolzano la primera tarea es justificar la continuidad (suele ser inmediata si $f$ es polinómica, exponencial, etc.).