¿Cómo se resuelve un límite con indeterminación 0/0?

Depende del tipo de expresión. Si es un **cociente de polinomios**, factoriza numerador y denominador (Ruffini si el grado es alto, factor común si es simple) y simplifica el factor que provoca el cero. Si hay **radicales**, multiplica y divide por el **conjugado** para eliminar la raíz. Si tu comunidad permite **L'Hôpital**, también puedes derivar numerador y denominador por separado.

¿Qué es la indeterminación $1^{\infty}$ y cómo se resuelve?

Es la indeterminación de un límite del tipo \lim f(x)^{g(x)} con f \to 1 y g \to \infty. Se resuelve con la fórmula e^{\lim g(x)[f(x)-1]}, basada en la definición del número e. Aparece típicamente en límites con expresiones del tipo (1 + \tfrac{1}{x})^x y variantes con cocientes de polinomios elevados a infinito.

¿Puedo aplicar L'Hôpital en cualquier límite de selectividad?

No siempre. Primero, solo se aplica si la indeterminación es \tfrac{0}{0} o \tfrac{\infty}{\infty}. Segundo, algunas CCAAs (Murcia, Castilla-La Mancha, ciertas convocatorias de Andalucía) prefieren la resolución algebraica explícita y valoran menos L'Hôpital. Si la usas, justifica siempre las hipótesis y deriva numerador y denominador por separado, no con la regla del cociente.

¿Cuál es la diferencia entre límite y límite lateral?

El **límite lateral** es el valor al que tiende f(x) cuando x se acerca a a solo por un lado: \lim_{x \to a^-} (por la izquierda) o \lim_{x \to a^+} (por la derecha). El **límite global** \lim_{x \to a} f(x) existe únicamente si ambos laterales coinciden. Si difieren (ej. salto), el límite no existe.

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Límites de funciones

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son límites de funciones en selectividad PAU?

El límite de una función

f(x)

cuando

x

tiende a un valor

a

, denotado

\lim_{x \to a} f(x) = L

, describe el comportamiento de

f

en las proximidades de

a

sin importar lo que ocurra exactamente en

a

. Es el concepto que sostiene todo el análisis: derivada, integral, continuidad y asíntotas se definen a partir de él.

En selectividad PAU aparece en TODAS las comunidades, normalmente como una pregunta de 1,5–2 puntos sobre 10 enfocada a resolver indeterminaciones. Las siete indeterminaciones clásicas son

\tfrac{0}{0}

\tfrac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \cdot \infty

1^{\infty}

0^0

\infty^0

. Cada una requiere una técnica distinta: factorización (cocientes de polinomios), multiplicación por el conjugado (radicales), reducción a

e

(potencias del tipo

1^{\infty}

), comparación de infinitos (cocientes en

\infty

) o regla de L'Hôpital cuando la comunidad lo permite.

El corrector valora que se identifique primero la indeterminación, se elija la técnica correcta y se justifique cada paso. Saltarse el análisis previo y aplicar L'Hôpital "a ciegas" sin verificar la forma

\tfrac{0}{0}

\tfrac{\infty}{\infty}

es una penalización segura en cualquier convocatoria.

Fórmulas de límites de funciones en PAU 📋

Definición formal de límite

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

Definición

\varepsilon

\delta

. Apenas se pide en PAU pero puede caer como cuestión teórica corta en Cataluña o Madrid.

Indeterminación

1^{\infty}

(número

e

)

\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot [f(x) - 1]} \quad \text{si } f \to 1,\ g \to \infty

Fórmula directa para

1^{\infty}

. Evita el desarrollo con logaritmos en cinco líneas. Recurrente en Galicia y C. Valenciana.

Regla de L'Hôpital

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad \text{si es } \tfrac{0}{0} \text{ o } \tfrac{\infty}{\infty}

Solo si la comunidad lo permite y el bloque de derivadas ya está visto. Verifica SIEMPRE la indeterminación antes de aplicar.

Comparación de infinitos (en

x \to \infty

)

\log_a x \ll x^p \ll a^x \ll x! \ll x^x \quad (a > 1,\ p > 0)

Útil en cocientes con

x \to \infty

: el infinito de mayor orden domina. Ahorra cálculo en

\tfrac{\infty}{\infty}

Conjugado para radicales

\lim \sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)} = \lim \frac{f(x) - g(x)}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}}

Técnica estándar para

\infty - \infty

con raíces. Multiplica y divide por el conjugado.

Cómo resolver límites de funciones paso a paso 📐

1
Sustituye y comprueba si hay indeterminación
Evalúa $f(a)$ directamente. Si sale un número real, ese es el límite. Si sale una indeterminación ( $\tfrac{0}{0}$ , $\tfrac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , etc.), pasa al siguiente paso. Indica explícitamente qué indeterminación tienes — el corrector lo valora.
2
Identifica el tipo de indeterminación y elige técnica
$\tfrac{0}{0}$ con polinomios → factorización (Ruffini, factor común). $\tfrac{0}{0}$ con radicales → conjugado. $\tfrac{\infty}{\infty}$ → comparar grados o dividir por mayor potencia. $\infty - \infty$ con raíces → conjugado. $1^{\infty}$ → fórmula con $e$ . $0 \cdot \infty$ → reescribir como cociente.
3
Aplica la técnica y simplifica
Tras factorizar/multiplicar por conjugado/dividir entre la mayor potencia, la indeterminación debe desaparecer. Si tras la transformación reaparece, repite el proceso o cambia de técnica. No mezcles técnicas en un mismo paso — el corrector quiere ver la lógica.
4
Si la comunidad permite L'Hôpital y procede, úsalo
Verifica la indeterminación $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ y deriva numerador y denominador POR SEPARADO (no la regla del cociente). Repite hasta resolver. Escribe "aplicamos L'Hôpital porque la indeterminación es..." para justificar.
5
Considera límites laterales si hay valor absoluto, denominador 0 o función a trozos
En estos casos calcula $\lim_{x \to a^-}$ y $\lim_{x \to a^+}$ por separado. Si coinciden, el límite existe. Si no, no existe (aunque puedan ser $+\infty$ y $-\infty$ por separado).
6
Escribe el resultado y verifica con orden de magnitud
Indica el límite final con claridad. Si el resultado parece extraño (ej. $0$ esperado y sale $\infty$ ), revisa la jerarquía de infinitos o un signo perdido. Sentido común aritmético: una potencia de $x$ siempre gana a un logaritmo en $\infty$ .

¿Qué trucos usa el corrector PAU para límites de funciones? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de empezar, sustituye siempre: muchos límites se resuelven directamente y no requieren ninguna técnica especial.
✓
En $\tfrac{\infty}{\infty}$ con polinomios: si el grado del numerador > denominador → $\pm\infty$ . Si igual → cociente de coeficientes líderes. Si menor → $0$ . Te ahorras todo el cálculo.
✓
Para $1^{\infty}$ usa la **fórmula directa con $e$ **: ahorra tres pasos respecto al método clásico (tomar logaritmos, despejar, exponenciar).
✓
En indeterminaciones $\infty - \infty$ con raíces, el conjugado funciona en el 95% de los casos. No pierdas tiempo buscando otras técnicas.
✓
Si tu comunidad NO permite L'Hôpital, escribe SIEMPRE "por factorización/conjugado/comparación de infinitos" como justificación — los correctores castigan la falta de razonamiento.

Errores frecuentes al resolver límites de funciones que penalizan el corrector ⚠

×
Aplicar L'Hôpital sin verificar la indeterminación $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ — error que invalida todo el apartado.
×
Derivar el cociente con la regla del cociente al aplicar L'Hôpital: lo correcto es derivar numerador y denominador POR SEPARADO.
×
Olvidar los límites laterales en funciones con valor absoluto, denominador cero o definidas a trozos.
×
Confundir $\infty - \infty$ con $0$ : NO es indeterminación que valga $0$ , hay que resolverla siempre con técnica (conjugado o factor común).
×
Decir que un límite existe cuando los laterales valen $+\infty$ y $-\infty$ : el límite no existe, aunque cada lateral sí sea infinito.

Preguntas frecuentes sobre límites de funciones en PAU 💬

¿Cómo se resuelve un límite con indeterminación 0/0?: Depende del tipo de expresión. Si es un cociente de polinomios, factoriza numerador y denominador (Ruffini si el grado es alto, factor común si es simple) y simplifica el factor que provoca el cero. Si hay radicales, multiplica y divide por el conjugado para eliminar la raíz. Si tu comunidad permite L'Hôpital, también puedes derivar numerador y denominador por separado.
¿Qué es la indeterminación $1^{\infty}$ y cómo se resuelve?: Es la indeterminación de un límite del tipo $\lim f(x)^{g(x)}$ con $f \to 1$ y $g \to \infty$ . Se resuelve con la fórmula $e^{\lim g(x)[f(x)-1]}$ , basada en la definición del número $e$ . Aparece típicamente en límites con expresiones del tipo $(1 + \tfrac{1}{x})^x$ y variantes con cocientes de polinomios elevados a infinito.
¿Puedo aplicar L'Hôpital en cualquier límite de selectividad?: No siempre. Primero, solo se aplica si la indeterminación es $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ . Segundo, algunas CCAAs (Murcia, Castilla-La Mancha, ciertas convocatorias de Andalucía) prefieren la resolución algebraica explícita y valoran menos L'Hôpital. Si la usas, justifica siempre las hipótesis y deriva numerador y denominador por separado, no con la regla del cociente.
¿Cuál es la diferencia entre límite y límite lateral?: El límite lateral es el valor al que tiende $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$ solo por un lado: $\lim_{x \to a^-}$ (por la izquierda) o $\lim_{x \to a^+}$ (por la derecha). El límite global $\lim_{x \to a} f(x)$ existe únicamente si ambos laterales coinciden. Si difieren (ej. salto), el límite no existe.