¿Qué pasos hay que seguir para estudiar completamente una función?

El orden canónico es: 1) **Dominio**, 2) **Simetrías y cortes con los ejes**, 3) **Asíntotas** (verticales, horizontales y oblicuas), 4) **Monotonía y extremos relativos** (con f'), 5) **Curvatura y puntos de inflexión** (con f''), 6) **Esbozo de la gráfica** integrando toda la información. Cada apartado depende del anterior, no se pueden saltar pasos.

¿Cómo se calculan las asíntotas de una función?

**Verticales**: en los puntos excluidos del dominio, calcula \lim_{x \to a^{\pm}} f(x); si es \pm\infty, hay AV en x = a. **Horizontales**: calcula \lim_{x \to \pm\infty} f(x); si es un valor finito k, hay AH y = k. **Oblicuas**: solo si NO hay AH en ese infinito; m = \lim_{x \to \infty} \tfrac{f(x)}{x} y n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]; entonces y = mx + n es AO.

¿Cuándo hay un punto de inflexión y cómo se detecta?

Un punto de inflexión es donde la función **cambia su curvatura** (de convexa a cóncava o viceversa). Se detecta con la **segunda derivada**: si f''(x_0) = 0 y f'' **cambia de signo** alrededor de x_0, entonces (x_0, f(x_0)) es un punto de inflexión. No basta con que f'' se anule — debe cambiar de signo.

¿Cómo se hace el esbozo de la gráfica en selectividad?

Dibuja primero las **asíntotas con línea discontinua** y marca los puntos clave (cortes con ejes, extremos, inflexiones) con sus coordenadas exactas. Une los puntos respetando la **monotonía** (creciente o decreciente en cada intervalo) y la **curvatura** (convexa \cup o cóncava \cap). La curva debe aproximarse a las asíntotas sin tocarlas. Indica claramente el comportamiento en \pm\infty.

Estudio completo de una función

29 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué es el estudio completo de una función en selectividad PAU?

El estudio completo de una función es el ejercicio más exigente del bloque y, junto con el problema de optimización, el más recurrente en selectividad de Matemáticas II. Consiste en analizar el comportamiento global de

f(x)

y representarla gráficamente. Integra TODO lo aprendido: límites, continuidad, derivada primera (monotonía y extremos) y derivada segunda (curvatura e inflexión).

El esquema canónico exige siete apartados: dominio, simetrías y periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas), monotonía y extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión y esbozo de la gráfica integrando toda la información. Cada apartado vale entre 0,25 y 0,5 puntos, y el esbozo final integra todo. En la mayoría de CCAAs vale 2,5 puntos sobre 10 (Andalucía, Madrid, Castilla-La Mancha, Murcia) y omitir la gráfica final penaliza hasta 0,5 puntos.

El corrector exige rigor en la justificación: estudiar el signo de

f'

f''

con una tabla de signos, indicar abiertos/cerrados en los intervalos de monotonía y curvatura, distinguir entre máximos/mínimos relativos y absolutos y reflejar correctamente en la gráfica las asíntotas con líneas discontinuas. Las funciones típicas son racionales del tipo

\tfrac{P(x)}{Q(x)}

, exponenciales del tipo

x e^x

, logarítmicas del tipo

x \ln x

y polinómicas de grado 3 o 4.

Fórmulas de estudio completo de una función en PAU 📋

Dominio (excluye lo "prohibido")

\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{\text{denom. } = 0,\ \text{arg. log} \leq 0,\ \text{rad. par} < 0\}

Primer paso obligatorio. Sin dominio correcto, las asíntotas verticales no se identifican.

Simetrías

f(-x) = f(x) \Rightarrow \text{par (eje OY)} \qquad f(-x) = -f(x) \Rightarrow \text{impar (origen)}

Comprueba siempre — si es par/impar, basta con representar la mitad y reflejar. Ahorra tiempo de esbozo.

Asíntotas verticales

\text{AV: } x = a \iff \lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty

Buscar en los puntos excluidos del dominio (denominador cero, log de cero). Comprobar laterales por separado.

Asíntotas horizontales y oblicuas

\text{AH: } y = k \iff \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k \qquad \text{AO: } y = mx + n,\ m = \lim \tfrac{f(x)}{x},\ n = \lim [f(x) - mx]

Si existe AH ya NO hay AO en ese lado del infinito. Estudia

+\infty

-\infty

por separado: pueden ser distintas.

Monotonía y extremos relativos

f'(x) > 0 \Rightarrow f earrow,\ \ f'(x) < 0 \Rightarrow f \searrow \qquad f'(x_0) = 0,\ f''(x_0) > 0 \Rightarrow \min;\ f''(x_0) < 0 \Rightarrow \max

Tabla de signos de

f'

. Los extremos relativos están en los ceros de

f'

donde cambia de signo.

Curvatura e inflexión

f''(x) > 0 \Rightarrow \cup \text{ convexa} \qquad f''(x) < 0 \Rightarrow \cap \text{ cóncava} \qquad \text{inflexión: } f''(x_0) = 0 \text{ y cambia signo}

Tabla de signos de

f''

. Los puntos de inflexión NO son extremos: son cambios de curvatura.

Cómo resolver problemas de estudio completo de una función paso a paso 📐

1
Calcula el dominio
Excluye los puntos que anulan denominadores, los argumentos no positivos de logaritmos y los radicandos negativos en raíces de índice par. Escribe el dominio como unión de intervalos (ej. $\mathbb{R} \setminus \{1, -1\}$ o $(0, +\infty)$ ).
2
Estudia simetrías y cortes con los ejes
Calcula $f(-x)$ y compara: si $f(-x) = f(x)$ es par (simétrica respecto a OY), si $f(-x) = -f(x)$ es impar (simétrica respecto al origen). Cortes con OX: resuelve $f(x) = 0$ . Corte con OY: calcula $f(0)$ si $0 \in \text{Dom}$ .
3
Calcula las asíntotas (V, H y O)
Verticales: en los puntos excluidos del dominio, calcula $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x)$ . Si es $\pm\infty$ , hay AV en $x = a$ . Horizontales: calcula $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ ; si es finito, hay AH. Oblicuas: solo si NO hay AH en ese lado; $m = \lim \tfrac{f(x)}{x}$ y $n = \lim [f(x) - mx]$ .
4
Deriva y estudia monotonía con tabla de signos
Calcula $f'(x)$ y resuelve $f'(x) = 0$ → puntos críticos. Estudia el signo de $f'$ en cada intervalo (tabla). Indica crecimiento ( $earrow$ ) y decrecimiento ( $\searrow$ ). Los puntos donde $f'$ cambia de signo son extremos relativos: máximo si $earrow$ a $\searrow$ , mínimo si $\searrow$ a $earrow$ .
5
Calcula la segunda derivada y estudia curvatura
Calcula $f''(x)$ y resuelve $f''(x) = 0$ . Estudia el signo en una tabla: convexa ( $\cup$ ) donde $f'' > 0$ , cóncava ( $\cap$ ) donde $f'' < 0$ . Los puntos de inflexión son aquellos donde $f''$ cambia de signo (no basta con que se anule).
6
Esboza la gráfica integrando toda la información
Dibuja primero las asíntotas con línea discontinua. Marca los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y los puntos de inflexión. Une los puntos respetando la monotonía y curvatura de cada intervalo. La gráfica debe aproximarse a las asíntotas sin tocarlas (salvo cruces explícitos en AO/AH). Indica las coordenadas exactas de los puntos clave.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para el estudio completo de una función? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
En una función racional $\tfrac{P(x)}{Q(x)}$ : si grado $P \leq$ grado $Q$ → AH; si grado $P =$ grado $Q + 1$ → AO (divide polinomios para hallarla); si grado $P >$ grado $Q + 1$ → no hay AH ni AO.
✓
Si la función es par o impar, estudia solo $x \geq 0$ y refleja. Reduces el trabajo a la mitad.
✓
Para la gráfica final, comienza dibujando las asíntotas y los cortes con los ejes — es el "esqueleto" antes de dibujar la curva.
✓
Si la tabla de signos te da el mismo signo en TODO el dominio, no hay extremos relativos: indícalo explícitamente ("la función es estrictamente creciente en su dominio").
✓
Distingue máximos/mínimos relativos (locales) de absolutos (globales). En un dominio no acotado los relativos no suelen ser absolutos por el comportamiento en $\pm\infty$ .

Errores frecuentes al resolver problemas de estudio completo de una función que penalizan el corrector ⚠

×
Omitir el dominio o calcularlo de forma incompleta — afecta a TODOS los apartados siguientes.
×
Buscar asíntotas oblicuas existiendo asíntota horizontal en el mismo lado del infinito (son incompatibles).
×
Concluir que hay extremo o inflexión porque $f'(x_0) = 0$ o $f''(x_0) = 0$ sin verificar el cambio de signo.
×
No dibujar las asíntotas con línea discontinua o no indicar las coordenadas de los puntos clave en el esbozo.
×
Olvidar el esbozo final — penaliza hasta 0,5 puntos en Andalucía y Madrid aunque todo el análisis previo sea perfecto.

Preguntas frecuentes sobre estudio completo de una función en PAU 💬

¿Qué pasos hay que seguir para estudiar completamente una función?: El orden canónico es: 1) Dominio, 2) Simetrías y cortes con los ejes, 3) Asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas), 4) Monotonía y extremos relativos (con $f'$ ), 5) Curvatura y puntos de inflexión (con $f''$ ), 6) Esbozo de la gráfica integrando toda la información. Cada apartado depende del anterior, no se pueden saltar pasos.
¿Cómo se calculan las asíntotas de una función?: Verticales: en los puntos excluidos del dominio, calcula $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x)$ ; si es $\pm\infty$ , hay AV en $x = a$ . Horizontales: calcula $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ ; si es un valor finito $k$ , hay AH $y = k$ . Oblicuas: solo si NO hay AH en ese infinito; $m = \lim_{x \to \infty} \tfrac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$ ; entonces $y = mx + n$ es AO.
¿Cuándo hay un punto de inflexión y cómo se detecta?: Un punto de inflexión es donde la función cambia su curvatura (de convexa a cóncava o viceversa). Se detecta con la segunda derivada: si $f''(x_0) = 0$ y $f''$ cambia de signo alrededor de $x_0$ , entonces $(x_0, f(x_0))$ es un punto de inflexión. No basta con que $f''$ se anule — debe cambiar de signo.
¿Cómo se hace el esbozo de la gráfica en selectividad?: Dibuja primero las asíntotas con línea discontinua y marca los puntos clave (cortes con ejes, extremos, inflexiones) con sus coordenadas exactas. Une los puntos respetando la monotonía (creciente o decreciente en cada intervalo) y la curvatura (convexa $\cup$ o cóncava $\cap$ ). La curva debe aproximarse a las asíntotas sin tocarlas. Indica claramente el comportamiento en $\pm\infty$ .

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→ Limites → Continuidad → Teorema Bolzano → Derivadas Aplicaciones

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Navarra·Ordinaria 2025·Pregunta 8

Asíntotas y simetrías de f(x) = 3x³/(x²-4)

f(x) = \dfrac{3x^3}{x^2-4}

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