¿Cuál es la diferencia entre integral definida e indefinida?

La **integral indefinida** \int f(x)\,dx = F(x) + C es una **familia de funciones** (primitivas), una función nueva con una constante arbitraria. La **integral definida** \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) es un **número** que representa el área algebraica bajo la curva entre a y b (con signo). En PAU se piden ambas: la indefinida como cálculo de primitiva y la definida como aplicación al área.

¿Cuándo usar integración por partes y cuándo cambio de variable?

Usa **cambio de variable** cuando detectes una función compuesta multiplicada (a veces salvo constante) por su derivada: f(g(x))\cdot g'(x). Usa **integración por partes** cuando tengas un **producto de funciones de tipos distintos** (logarítmica·algebraica, algebraica·exponencial, algebraica·trigonométrica). Si dudas, mira primero si es cambio (más rápido); si no encaja, aplica partes con LIATE.

¿Qué es la regla LIATE para integración por partes?

LIATE (o ILATE) es una regla mnemotécnica para elegir u en \int u\,dv = uv - \int v\,du: **L**ogarítmica, **I**nversa trigonométrica, **A**lgebraica (polinómica), **T**rigonométrica, **E**xponencial. La función que aparezca antes en este orden es u; el resto va en dv. Por ejemplo, en \int x\,e^x\,dx: x es algebraica (A), e^x es exponencial (E), y como A va antes que E, u = x y dv = e^x\,dx.

¿Cómo se integra una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$?

Si \deg P \geq \deg Q haz primero la **división polinómica** para separar parte entera + resto racional. Después factoriza Q(x) en reales. Si hay raíces simples reales, plantea \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} y calcula A, B. Si hay raíces múltiples o complejas, la descomposición es más compleja (incluye factores cuadráticos irreducibles). Cada fracción simple se integra como logaritmo o como arcotangente.

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Integrales (cálculo de primitivas)

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¿Qué son integrales (cálculo de primitivas) en selectividad PAU?

Una integral indefinida o primitiva de una función

f(x)

es cualquier función

F(x)

que cumple

F'(x) = f(x)

. Se escribe

\int f(x)\,dx = F(x) + C

, donde

C

es la constante de integración. En la PAU de Matemáticas II el cálculo de primitivas aparece de forma directa (resolver una integral) o como paso previo al cálculo de áreas mediante la regla de Barrow.

Los cuatro métodos sistemáticos que entran en PAU son: integrales inmediatas (aplicar la tabla directamente), cambio de variable (sustitución

t = g(x)

cuando aparece

f(g(x))\cdot g'(x)

), integración por partes (

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con elección de

u

por la regla LIATE), y descomposición en fracciones simples para integrales racionales

\frac{P(x)}{Q(x)}

con

\deg P < \deg Q

.

El corrector valora la justificación del método elegido: explicitar el cambio de variable con su diferencial, indicar

u

dv

en la fórmula de partes, o mostrar la descomposición con los coeficientes calculados. Olvidar la constante

+C

en integrales indefinidas penaliza típicamente 0,25 puntos.

Fórmulas de integrales (cálculo de primitivas) en PAU 📋

Integral por partes

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Producto de funciones de distinto tipo. Elige

u

siguiendo LIATE: Logarítmica, Inversa trig., Algebraica, Trigonométrica, Exponencial. La que aparezca antes en LIATE es

u

Cambio de variable

\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \quad \text{con } t = g(x),\ dt = g'(x)\,dx

Detecta una función compuesta

f(g(x))

multiplicada por la derivada

g'(x)

(a veces salvo constante). Es el método más frecuente en PAU.

Primitiva de

\frac{1}{x}

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

OJO al valor absoluto — el corrector lo exige. Aparece tras descomponer en fracciones simples con raíces reales simples.

Primitiva de la potencia

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

Caso

n = -1

va aparte (logaritmo). Funciona también para exponentes fraccionarios y negativos.

Descomposición en fracciones simples (raíz real simple)

\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}

Cuando

Q(x)

factoriza en raíces reales simples. Si hay raíz doble:

\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}

. Calcula

A, B

dando valores a

x

o identificando coeficientes.

Primitivas trigonométricas básicas

\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C

Aparecen en cambios de variable trigonométricos y en integrales por partes con

x\sin x

x\cos x

. Atención al signo de

-\cos x

Cómo resolver integrales (cálculo de primitivas) paso a paso 📐

1
Identifica el tipo de integral
Mira la función: ¿es inmediata por tabla? ¿hay una función compuesta con su derivada? ¿es producto de tipos distintos? ¿es cociente de polinomios? Esta clasificación determina el método.
2
Si es casi-inmediata → ajusta constantes
Muchas integrales son inmediatas salvo un factor numérico. Por ejemplo $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$ . Saca/mete constantes según convenga, sin tocar las variables.
3
Cambio de variable: declara $t$ y $dt$ explícitamente
Escribe $t = g(x)$ y $dt = g'(x)\,dx$ en una línea aparte. Sustituye TODO (incluida la $dx$ ). Resuelve la integral en $t$ . Al final deshaz el cambio volviendo a $x$ . No olvides $+C$ .
4
Integración por partes con LIATE
Elige $u$ siguiendo LIATE (logarítmica > inversa trig. > algebraica > trig. > exponencial). Calcula $du = u'\,dx$ y $v = \int dv$ . Aplica $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . Si la nueva integral $\int v\,du$ es más simple, vas bien.
5
Fracciones simples: descompón y resuelve
Si $\deg P \geq \deg Q$ , divide primero. Factoriza $Q(x)$ en reales. Plantea la descomposición con coeficientes incógnita ( $A, B, C, \ldots$ ). Calcúlalos dando valores a $x$ (raíces de $Q$ ) o identificando coeficientes. Integra cada fracción simple por separado.
6
Verifica derivando el resultado
Una integral está bien si $F'(x) = f(x)$ (el integrando original). Cuando dudes, deriva mentalmente la primitiva — debe coincidir con $f$ . Si no, hay error de signo o de constante.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para integrales (cálculo de primitivas)? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Usa LIATE/ILATE para elegir $u$ en integración por partes: Logarítmica > Inversa trig. > Algebraica > Trigonométrica > Exponencial. La primera que aparezca es $u$ , el resto va en $dv$ .
✓
Antes de aplicar partes, mira si es casi-inmediata: $\int x\cdot e^{x^2}\,dx$ NO es por partes — es cambio de variable con $t = x^2$ (ahorras minutos).
✓
En cambios de variable, si la nueva integral en $t$ todavía tiene $x$ es que falta despejar $x$ en función de $t$ . Repasa la sustitución antes de seguir.
✓
En fracciones simples con denominador $(x-a)(x-b)$ , calcula $A$ y $B$ rápidamente con el método de tapado: $A = \frac{P(a)}{a-b}$ , $B = \frac{P(b)}{b-a}$ . Ahorra plantear el sistema.
✓
NUNCA olvides la constante $+C$ en integrales indefinidas — el corrector penaliza 0,25 puntos por su omisión en casi todas las comunidades.

Errores frecuentes al resolver integrales (cálculo de primitivas) que penalizan el corrector ⚠

×
Olvidar la constante $+C$ en integrales indefinidas (penaliza ~0,25 puntos sistemáticamente).
×
En cambio de variable, no sustituir la $dx$ (sustituir solo la función sin tocar el diferencial deja una integral inconsistente).
×
En integración por partes, elegir mal $u$ : si la nueva integral $\int v\,du$ es más complicada que la original, hay que reelegir o cambiar de método.
×
En fracciones simples, no hacer la división polinómica cuando $\deg P \geq \deg Q$ (descomponer sin dividir antes da resultados absurdos).
×
Escribir $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C$ sin el valor absoluto — el corrector exige $\ln|x| + C$ .

Preguntas frecuentes sobre integrales (cálculo de primitivas) en PAU 💬

¿Cuál es la diferencia entre integral definida e indefinida?: La integral indefinida $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ es una familia de funciones (primitivas), una función nueva con una constante arbitraria. La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ es un número que representa el área algebraica bajo la curva entre $a$ y $b$ (con signo). En PAU se piden ambas: la indefinida como cálculo de primitiva y la definida como aplicación al área.
¿Cuándo usar integración por partes y cuándo cambio de variable?: Usa cambio de variable cuando detectes una función compuesta multiplicada (a veces salvo constante) por su derivada: $f(g(x))\cdot g'(x)$ . Usa integración por partes cuando tengas un producto de funciones de tipos distintos (logarítmica·algebraica, algebraica·exponencial, algebraica·trigonométrica). Si dudas, mira primero si es cambio (más rápido); si no encaja, aplica partes con LIATE.
¿Qué es la regla LIATE para integración por partes?: LIATE (o ILATE) es una regla mnemotécnica para elegir $u$ en $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ : Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algebraica (polinómica), Trigonométrica, Exponencial. La función que aparezca antes en este orden es $u$ ; el resto va en $dv$ . Por ejemplo, en $\int x\,e^x\,dx$ : $x$ es algebraica (A), $e^x$ es exponencial (E), y como A va antes que E, $u = x$ y $dv = e^x\,dx$ .
¿Cómo se integra una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$?: Si $\deg P \geq \deg Q$ haz primero la división polinómica para separar parte entera + resto racional. Después factoriza $Q(x)$ en reales. Si hay raíces simples reales, plantea $\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$ y calcula $A, B$ . Si hay raíces múltiples o complejas, la descomposición es más compleja (incluye factores cuadráticos irreducibles). Cada fracción simple se integra como logaritmo o como arcotangente.